Suma de las tiradas de tres dados distintos y obtiene $a$ , $b$ y $c$ . Encuentre la probabilidad de $2a + b + c = 10$ .

Question

Suma de las tiradas de tres dados distintos y obtiene $a$ , $b$ y $c$ . Encuentre la probabilidad de $2a + b + c = 10$ .

Mi respuesta:

a b c
4 1 1
3 2 2
2 3 3
1 4 4

3 3 1
3 1 3
2 1 5
2 5 1

2 4 2
2 2 4
1 5 3
1 3 5

Total $12$ casos de $6^3 \implies $ la probabilidad es $1/18$ . ¿Es esto correcto? Por favor, compruébalo.

Answer 1

No. Has olvidado $1,2,6$ y $1,6,2$

Creo que no los habrías pasado por alto si hubieras generado la combinación de forma un poco más sistemática. Es decir, empezando por $a=4$ ( que es claramente el máximo para $a$ ), en efecto, sólo tiene una opción: $4,1,1$ . Bien, pasemos a $a=3$ . Ahora vamos a calcular todas las opciones con eso, empezando por el valor más alto posible de $b$ : $3,3,1$ , $3,2,2$ , $3,1,3$ y eso es todo. Y sólo ahora bajar a $a=2$ etc. De hecho, al hacer esto, inmediatamente detecté las dos combinaciones que faltaban.

Observando sus combinaciones, hay una cierta sistematicidad... pero no la suficiente.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[10px,#ffd]{\sum_{a = 1}^{6}{1 \over 6} \sum_{b = 1}^{6}{1 \over 6}\sum_{c = 1}^{6} {1 \over 6}\bracks{z^{10}}z^{2a + b + c}} \\[5mm] = &\ {1 \over 216}\bracks{z^{10}} \bracks{\sum_{a = 1}^{6}\pars{z^{2}}^{a}} \pars{\sum_{b = 1}^{6}z^{b}}\pars{\sum_{b = 1}^{6}z^{c}} \\[5mm] = &\ {1 \over 216}\bracks{z^{10}} \pars{z^{2}\,{z^{12} - 1 \over z^{2} - 1}} \pars{z\,{z^{6} - 1 \over z - 1}} \pars{z\,{z^{6} - 1 \over z - 1}} \\[5mm] = &\ {1 \over 216}\bracks{z^{6}}{-z^{24} + 2z^{18} - 2z^{6} + 1 \over \pars{1 - z^{2}}\pars{1 - z}^{2}} = {1 \over 216}\bracks{z^{6}}{-2z^{6} + 1 \over \pars{1 - z^{2}}\pars{1 - z}^{2}} \\[5mm] = &\ -\,{1 \over 108} + {1 \over 216}\,\bracks{z^{6}} \sum_{m = 0}^{\infty}z^{2m} \sum_{n = 0}^{\infty}{-2 \choose n}\pars{-z}^{n} \\[5mm] = &\ -\,{1 \over 108} + {1 \over 216} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty}\bracks{{2 + n - 1\choose n} \pars{-1}^{n}}\pars{-1}^{n}\bracks{2m + n = 6} \\[5mm] = &\ -\,{1 \over 108} + {1 \over 216} \sum_{m = 0}^{\infty}\sum_{n = 0}^{\infty}\pars{n + 1} \bracks{n = 6 - 2m} \\[5mm] = &\ -\,{1 \over 108} + {1 \over 216} \sum_{m = 0}^{\infty}\pars{7 - 2m}\bracks{6 - 2m \geq 0} \\[5mm] = &\ -\,{1 \over 108} + {1 \over 216} \sum_{m = 0}^{3}\pars{7 - 2m} = \bbx{7 \over 108} \approx 0.0648 \end{align}

---

Significa $\ds{\bbx{{14 \over 6 \times 6 \times 6} = {7 \over 108}}}$ .

Answer 3

Pista: Por paridad, sabes que b y c son ambos pares o ambos Impares.

A partir de aquí, considere la estrellas y barras método de recuento (multichoose). Habrá uno o dos casos extremos, pero esto simplificará su trabajo de manera significativa.