Encontrando $\mathbb E(XY)$ dada una densidad vectorial aleatoria conjunta

Question

Dado un vector aleatorio continuo tiene densidad $f_{X,Y}(x,y) = 2(x + y) :0 \lt x \lt y \lt 1.$

Encuentre $\mathbb E(XY)$ .

No tengo claro si el método sería realizar la integral: $$\int_0^1 \int_0^yxyf_{X,Y}(x,y)dxdy$$ utilizando la ley del estadístico inconsciente o si existe otro enfoque para ello.

Answer 1

Tu camino es el mejor enfoque. Una alternativa poco atractiva es dejar que $W=XY$ y encontrar la función de densidad de $W$ y, a continuación, calcular $E(W)$ de la forma habitual.

Para encontrar la función de densidad de $W$ podemos, por ejemplo, calcular la función de distribución acumulativa de $W$ y luego diferenciar.

Para la fdc de $W$ encontramos la probabilidad de que $W\le w$ . Para un $w$ entre $0$ y $1$ , dibujar la curva $xy=w$ . Dejemos que $K_w$ sea la parte del triángulo con ángulos $(0,0)$ , $(1,1)$ y $(0,1)$ que está "por debajo" $xy=w$ . Entonces $\Pr(W\le w)$ es la integral sobre $K_w$ de la densidad conjunta de $X$ y $Y$ .

Hay otras formas de encontrar la función de densidad de $W$ .