Pregunta de recuento sobre cadenas de bits - problema con el uso de casos

Question

¿Cuántas cadenas de bits de longitud 10 comienzan con tres 0s o terminan con dos 0s?

He resuelto esta pregunta utilizando casos pero parece que no obtengo la respuesta de $352$ .

Mi intento: Considerar dos casos:

• Caso 1: La cadena comienza con tres $0$ s y no termina con dos $0$ s. Sólo hay $1$ manera de elegir los tres primeros bits, $2^5$ formas para las partes intermedias, y $3$ para los dos últimos bits ( $4$ formas de construir una cadena de dos bits, menos $1$ manera de hacer tres $0$ s). Hay $2^5 \cdot 3$ formas de construir cadenas de este tipo.
• Caso 2: La cadena no empieza por tres $0$ s pero termina con dos $0$ s. Hay $2^3 - 1 = 7$ formas de elegir los tres primeros bits sin tres $0$ s, $2^5$ formas para las partes intermedias, y $1$ camino para las dos últimas partes. Hay $7 \cdot 2^5$ formas de construir cadenas de este tipo.

Por la regla de la suma, hay $2^5 \cdot 3 + 2^5 \cdot 7 = 320$ formas de construir cadenas de bits de longitud 10 o bien comienzan con tres $0$ s o terminar con dos $0$ s.

Answer 1

Te faltan los hilos que ambos comienzan con tres ceros y terminan con dos ceros.

Y como quedan cinco bits que pueden ser cualquier cosa, tienes $2^5=32$ de esos, exactamente la diferencia

Answer 2

$$\underbrace{2^7}_{\text{begin with three zeros}}+\underbrace{2^8}_{\text{end with two zeros}}-\underbrace{2^5}_{\text{double-count}} $$