¿Cómo se calculaban originalmente las tablas de senos, cosenos y tangentes?

Question

Según entiendo... ejem... el vector (coseno, seno) se calculó para los ángulos (30 grados, PI/6), (45 grados, PI/4) y (60 grados, PI/3) etcétera, sin embargo, me gustaría conocer el proceso geométrico original para calcular las magnitudes de cada vector en la tabla de consulta trigonométrica.

¿Cómo se calculaban estos valores antes de las calculadoras? ¿Simplemente se medían las longitudes adyacentes y opuestas con precisión?

Answer 1

Probablemente se podría escribir un libro entero sobre este tema y en Internet hay varios recursos que ayudan a responder a la pregunta. Así que resuma algunas cosas.

La trigonometría tiene sus raíces en la astronomía. Esto tiene mucho sentido, ya que los ángulos desempeñan un papel importante.

Como has deducido no es muy difícil encontrar exactamente (o aproximadamente) los valores de las funciones trigonométricas en ángulos como $30^\circ, 45^\circ,$ y $60^\circ$ . Utilizando varias identidades trigonométricas como $$\begin{align} \sin(x + y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ a/\sin A &= b/\sin B = c/\sin C \end{align} $$ y la interpolación (lineal) las personas calcularon otros valores. La gente creaba entonces tablas de valores de las funciones trigonométricas. Estas tablas podían ser utilizadas por el "hombre común" para encontrar los valores. Es, por ejemplo, un bonito ejercicio crear una tabla de valores del seno para múltiplos de $3^\circ$ . Por ejemplo, Ptolomeo (siglo II d.C.) creó esencialmente una tabla de valores para cada ángulo de medio grado.

Los métodos evolucionaron y la gente encontró aproximaciones a las funciones trigonométricas. Por ejemplo, en el siglo VII d.C. Bhaskara I elaboró una fórmula: $$ \sin x \approx \frac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad \left(0\leq x\leq\pi\right). $$

Posteriormente se elaboraron tablas más detalladas que contenían valores con mayor precisión.

Las reglas de cálculo contendrían escalas para calcular las funciones trigonométricas. No estoy seguro de cuándo fue la primera vez que las reglas de cálculo tenían escalas trigonométricas, pero definitivamente las tenían antes de la invención de la calculadora de bolsillo en el siglo XX.

En resumen, el "hombre común" (el científico) "calculaba" los valores de las funciones trigonométricas antes de la calculadora utilizando principalmente tablas y reglas de cálculo. Algunos matemáticos participaban entonces en la creación de estas tablas.

Un par de referencias que he utilizado para lo anterior son:

• https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_trigonometry#European_mathematics
• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions.html
• https://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy%27s_table_of_chords
• https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_tables

Answer 2

Esta es una forma de hacerlo cuando estaba $6$ y estoy bastante seguro de que así es como se podría calcular, crudamente : Dibuja un círculo de 10 centímetros con centro $O$ y dibujar un diámetro $\ell$ , es decir, por conveniencia, paralelo a cualquier borde del papel. Luego, toma un transportador y marca el punto $A$ donde la línea $\theta=\alpha$ (coordenadas polares) interseca el círculo $r=10$ . Entonces, dejemos que $n$ sea la línea perpendicular a $\ell$ que pasa a través de $A$ y se cruza con $\ell$ en $B$ . Entonces, tenemos lo siguiente: $$\sin\alpha=\frac{AB}{10}\\ \cos\alpha=\frac{OB}{10}\\ \tan\alpha=\frac{AB}{OB}$$ Esto proporciona una aproximación cruda. Para obtener mejores aproximaciones, hay que tomar radios más grandes. Yo era $6$ entonces, y ahora estoy $8$ años mayor, así que todo esto se basa en la memoria. Sin embargo, estoy bastante seguro de que lo escribí bien. (Corríjanme si me equivoco).