$\int \sin x \cos x \ dx \neq \frac {\sin^2x}{2}$ si utilizamos la identidad $\sin A \cos B = \frac12[\sin(A-B) + \sin(A+B)]?$

Question

¿Cómo es que podemos obtener dos respuestas diferentes para una integral dependiendo de si aplicamos una identidad o no?

Típicamente, $$\int \sin x \cos x \ dx = \frac {\sin^2x}{2}+C~.$$

Sin embargo, si aplicamos la identidad trigonométrica $$\sin A \cos B = \frac12[\sin(A-B) + \sin(A+B)]~,$$ entonces la integral se convierte en $$\frac12 \int (\sin(0) + \sin(2x)) dx =\frac12 \int \sin(2x) dx = -\frac14 \cos(2x) $$

Así que terminamos con una respuesta diferente. ¿He cometido un error aquí, o es simplemente una propiedad de la integración/trigonometría?

Answer 1

Estás bien, porque $\frac12\sin^2x+\frac14\cos 2x=\frac14$ se absorbe en la constante de integración.

Answer 2

La misma integral indefinida, $I(x)$ realizado por diferentes métodos podría dar lugar a diferentes expresiones $I_1(x), I_2(x), I_3(x)...$ que sólo se diferencian entre sí por una constante. Por ejemplo $$I(x)=\int \sin x \cos x dx= \int \frac{\sin 2x}{2} dx=-\frac{\cos 2x}{4}+C_1 =I_1(x).$$ La misma integral si se hace por partes da $$I(x)=\sin x \sin x-\int \cos x \sin x dx \Rightarrow I(x)=\frac{ \sin^2 x}{2}+C_2= I_2(x). $$ La misma integral si se hace por sustitución $\cos x=t$ obtenemos $$I(x)=\int \sin x \cos x dx=\int -d (\cos x) \cos x dx= -\frac{\cos^2 x}{2}+C_3=I_3(x)$$ Se puede ver que $I_1(x), I_2(x)$ y $I_3(x)$ difieren mutuamente sólo por alguna constante (independiente de $x$ ).

Answer 3

Tu confusión radica en la definición de antiderivada: No es una función, sino un conjunto de funciones: $$\int f := \{g| g'=f\}$$ Y puedes comprobar fácilmente que la derivada de ambas funciones es la misma, por lo que ambas son una antiderivada de tu función inicial.

Pero, ¿por qué escribimos expresiones como $$\int x \mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}+C?$$ Porque somos perezosos y es más fácil escribir un elemento del conjunto más una constante. ¿Y por qué podemos hacerlo? Porque se puede demostrar que si $f'=g'$ entonces $\exists c$ para que $f=g+c$ (con el MVT, aplicado a $h=f-g$ ), por lo que un elemento del conjunto es suficiente para caracterizar todo el conjunto.

Answer 4

Has olvidado la constante arbitraria en tu segundo método.

La parte no constante del primer resultado puede transformarse como sigue: $$\frac{\sin^2x}{2}=\frac{1-\cos 2x}{4}=-\frac14\cos 2x+C,$$ desde $C$ es arbitraria.