Anillos de coordenadas: ¿el lenguaje para hablar de las variedades afines sin incrustarse en el espacio afín?

Question

He oído que la idea de los anillos de coordenadas crea un lenguaje para hablar de las variedades afines sin incrustarlas en el espacio afín. Pero no lo entiendo ni estoy de acuerdo. La definición del anillo de coordenadas de una variedad afín $Y$ es $k[x_1,...,x_n]/I(Y)$ . Pero si sabemos lo que $k$ y $n$ son, ¿no estamos (al menos implícitamente) incrustando $Y$ en algún espacio afín?

¿Hay alguna forma de interpretar esta afirmación con sentido?

Answer 1

Se pueden caracterizar de forma abstracta los anillos de coordenadas $A$ de variedades afines (irreducibles) sobre un campo $k$ como dominios integrales finitamente generados sobre $k$ . Esta definición no requiere que se elija una opción de generadores, sólo que exista algún conjunto generador finito; dicha opción de generadores es equivalente a la elección de una suryección $$k[x_1, ... x_n] \to A$$

que de hecho es equivalente a la elección de una incrustación de $\text{Spec } A$ en un espacio afín $\mathbb{A}^n$ .

Esta flexibilidad es conveniente cuando se quiere construir nuevas variedades a partir de las antiguas. Por ejemplo, dejemos que $A$ sea el anillo de coordenadas de alguna variedad afín y $G$ un grupo finito que actúa sobre la variedad mediante mapas algebraicos. Entonces actúa sobre $A$ por homomorfismos de álgebra. La subálgebra invariante $$A^G = \{ a \in A : \forall g \in G, ga = a \}$$

se sabe que es de generación finita, pero no viene con un conjunto distinguido de generadores, por lo que define una variedad afín $\text{Spec } A^G$ que modela el cociente $(\text{Spec } A)/G$ y que no viene con una incrustación preferente en el espacio afín aunque $A$ lo hace.