Cómo encontrar la CDF conjunta

Question

Dejemos que $~X~$ y $~Y~$ ser r.v. continua con un Pdf conjunto:

$$ f(x,y)=\begin{cases} 2(x+y) & ; 0\leq x\leq y\leq 1\\ 0 & ; \text{else} \end{cases} $$

¿Puede alguien explicar cómo encontrar la FCD conjunta de este problema?

También puede alguien explicarme cómo evaluar los límites para integrar cdf y cómo crear el piecewise de cdf conjunto.

Estoy atascado en esta cdf conjunta y cdf marginal.

Answer 1

Una pista: En primer lugar podemos utilizar que $0\leq x\leq y\leq 1$ equivale a $x\leq y\leq 1, 0\leq x\leq 1$

Entonces $$P(X\leq a, Y\leq b)=\int_0^a \left(\int_x^b 2(x+y) \, dy \right) \, dx $$

$$P(X\leq a, Y\leq b)=\int_0^a \left(b^2+2bx-3x^2\right) \, dx =...$$