Si un momento absoluto normalizado p-ésimo para $X$ es mayor que para $Y$ ¿es esto también cierto para otros $p$ ?

Question

Digamos que el p-ésimo momento absoluto estandarizado de una distribución, si existe, es:

$$\mu_{\vert p\vert}(X) = E\left( \left| \frac{X-\mu_X}{\sigma_X} \right|^p \right)$$

Si para algunos $p>2$ tenemos $\mu_{\vert p\vert}(X)>\mu_{\vert p\vert}(Y)$ ¿es esto también cierto para otros momentos absolutos normalizados p-th?

Answer 1

La respuesta es no. Las distribuciones pueden ser diferentes, más altas o más bajas, en relación con diferentes momentos.

Ejemplo

Considere la distribución

$$f(x,a) = \begin{cases} 0.075 & \text{if} & x = -a \\ 0.175 & \text{if} & x = -1 \\ 0.500 & \text{if} & x = 0 \\ 0.175 & \text{if} & x = 1 \\ 0.075 & \text{if} & x = a \\ \end{cases}$$

Vamos a trazar $\mu_{\vert 4 \vert}$ (la curtosis) y $\mu_{\vert 6 \vert}$ de $f(x,a)$ en función de $a$ y compararlos con los momentos estandarizados de una distribución gaussiana.

Aquí vemos que para $2 \lessapprox a \lessapprox 2.3$ tenemos que la distribución $f(x,a)$ tiene una mayor $\mu_{\vert 4 \vert}$ pero más bajo $\mu_{\vert 6 \vert}$ en relación con una distribución normal.