Me pareció escuchar algo parecido a este teorema en alguna parte, pero puedo estar equivocado:
Teorema: (Informalmente) Hojas en la categoría $[\text{Ring}^{op}, \text{Set}]$ lo mismo que los colímetros filtrados de los funtores representables.
Si esto es cierto, me gustaría conocer un resultado general en esta línea para las topologías de Grothendieck.
¡Muchas gracias!
Esto es algo más de lo que estaba pensando.
Tomando $F : I^{op} \rightarrow \text{Set}$ , $F$ es el colímite de $\text{el}(F) \rightarrow I \rightarrow [I^{op}, \text{Set}]$ , donde $\text{el}(F)$ es la categoría de elementos de $F$ cuyos objetos son pares $(i, x)$ donde $i \in I$ y $x \in F(i)$ y los morfismos $\phi : (i, x) \rightarrow (j, y)$ son mapas $\phi : i \rightarrow j$ tal que $\phi(y) = x$ . Esta construcción muestra que cada functor $F$ en $[I^{op}, \text{Set}]$ es canónicamente el colímite de los funtores representables. También se puede desarrollar para demostrar que $[I^{op}, \text{Set}]$ es una especie de terminación de colímite libre de $I$ Aunque hay que tener en cuenta los problemas de tamaño.
Mi pregunta es entonces, notando dos clases principales de mapas (colímites filtrados de presheaves y sheaves dada una topología de grothendieck) podríamos preguntarnos qué topologías de grothendieck sobre $I$ haría que estas dos clases coincidieran.
Ahora bien, si la categoría $\text{el}(F)$ es filtrado, entonces hemos terminado. Entonces, ¿qué tipo de coberturas en una topología de Grothendieck haría $\text{el}(F)$ ¿Filtrado? Parece que los mapas conjuntos surjetivos servirían bien en muchos ejemplos.
Ejemplo: Dejemos que $I$ sea la categoría de espacios compactos de Hausdorff (una subcategoría completa de la categoría de espacios topológicos). Resulta que en este momento me interesan los pretrenzados en esta categoría, pero es un buen ejemplo. Pongamos una topología de Grothendieck en $I$ donde las coberturas son colecciones conjuntas suryectivas de mapas hacia un objeto dado.
La afirmación es que las gavillas aquí son colimitas filtradas de representables. Tomemos dos objetos $(i, x)$ y $(j, y)$ en la categoría de elementos de una gavilla dada $F$ en $I$ (nota que $F : I^{op} \rightarrow \text{Set}$ ). Tome $(i \amalg j, (x, y) \in F(i) \prod F(j))$ , señalando que $F$ debe conservar los productos como $I, J \rightarrow I \amalg J$ es una tapadera.
... No he terminado esto.
