Creación de una función hermitiana

Question

Digamos que tengo un operador $A$ tal que $A^\dagger = B$ . Quiero construir una función hermitiana, $f$ de estos operadores, $f(A,B)^\dagger = f(A,B)$ . ¿Es posible construir una función $f$ tal que $f$ no es una función de $A+B$ ?: $f(A,B)\neq f(A+B)$ pero $f(A,B)^\dagger = f(A,B)$ ?

Answer 1

Observe que

$$(\mathrm{i}(A-B))^\dagger = -\mathrm{i}(A^\dagger - B^\dagger) = \mathrm{i}(A-B)$$

así que $f(A) = \mathrm{i}(A-A^\dagger)$ es una función hermitiana de $A$ que no es una función de $A+A^\dagger$ .

Answer 2

Una respuesta trivial podría ser cualquier producto de $A$ y $A^{\dagger}=B$ es una función hermitiana toma $f_1(A,B)=AB=AA^{\dagger}$ y que como también todo poder de $AB$ es una función hermitiana: ${(AB)^n}^{\dagger}=B^{\dagger}A^{\dagger}B^{\dagger}A^{\dagger}....B^{\dagger}A^{\dagger}=ABAB....AB = (AB)^n$ y como se puede definir $$f(A,B)=\sum_{n}\alpha_n(AB)^n$$ con $\alpha_n \in \mathbb{R}$ ahí tienes una gran clase de funciones de $A$ y $B$ que son $f(A,B)=f(AB)$ . Otra posibilidad que se me ocurre es una ligera generalización de lo que has escrito(que tiene en cuenta sólo las combinaciones lineales de $A$ y $A^{\dagger}$ ): toma cualquier función $g(A,B)$ y definir $f(A,B)=g(A,B)+g(A,B)^{\dagger}$ o $f(A,B)=i(g(A,B)-g(A,B)^{\dagger})$ . Hasta donde yo sé, estos son los casos más comunes sin más especificaciones sobre las propiedades de $A$ ,editar: más allá de los casos triviales de simetrización y antisimetrización $A+A^{\dagger}$ y $i(A-A^{\dagger})$