En $\lim_{\epsilon \to 0^+}(\int_{1/2}^{1-ε}＋\int_{1＋ε}^{3/2})\frac {\log x} {(x-1)^2} dx$ ¿Existe?

Question

En $$\lim_{\epsilon \to 0^+} \left(\int_{1/2}^{1-}\int_{1}^{3/2}\right)\frac{\log x}{(x-1)^2} dx$$ ¿Existe?

Sugerencia dice $$\lim_{\epsilon \to 0^+} \left( \frac{\log x-a-b(x-1)-c(x-1)^2}{(x-1)^3}\right)$$ sólo existe si $a=0,b=1,c=-\frac12$ .

No tengo ni idea de cómo aplicar esta sugerencia.

También se agradece otra forma. Gracias de antemano.

Answer 1

Yo presentaría $x=1/u$ en la primera integral $$\int_{1/2}^{1-\epsilon} \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x = -\int_{1/(1-\epsilon)}^2 \frac{\log u}{(u-1)^2} \, {\rm d}u $$ para que $$ - \int_{1/(1-\epsilon)}^2 \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x + \int_{1+\epsilon}^{3/2} \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x \\ = - \int_{1/(1-\epsilon)}^{3/2} \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x - \int_{3/2}^2 \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x + \int_{1+\epsilon}^{3/2} \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x $$ y la integral existe claramente si $$\int_{1+\epsilon}^{1/(1-\epsilon)} \frac{\log x}{(x-1)^2} \, {\rm d}x $$ existirá. Puede utilizar $1/(1-\epsilon) = 1 + \epsilon + O(\epsilon^2)$ y luego aplicar $\log x \leq x-1$ (la integral es claramente positiva).

Answer 2

Mira la expansión de Taylor de $\log x$ alrededor de $x = 1$ :

$$\log x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \cdots.$$

Por lo tanto, existe una función continua $g : [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \to \mathbb{R}$ definido por

$$g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{x-1}{3} - \frac{(x-1)^2}{4} + \cdots$$

tal que $\log x = (x-1) + (x-1)^2 g(x)$ .

Por lo tanto,

$$\lim_{\varepsilon\to 0^+} \left( \int_{1/2}^{1-\varepsilon} + \int_{1+\varepsilon}^{3/2} \right) \frac{\log x}{(x-1)^2} dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \left( \int_{1/2}^{1-\varepsilon} + \int_{1+\varepsilon}^{3/2} \right) \left( \frac{1}{x-1} + g(x) \right) dx.$$

Ahora, si dividimos en el término para $\frac{1}{x-1}$ y el término para $g(x)$ en la primera obtenemos $$\lim_{\varepsilon\to 0^+} (\log(1/2) - \log(\varepsilon)) + (\log(\varepsilon) - \log(1/2)) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} 0 = 0.$$ En el segundo, el establecimiento $G$ sea una antiderivada de $g$ en $[1/2, 3/2]$ (y por lo tanto $G$ debe ser en particular continua) y utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos \begin{align*} \lim_{\varepsilon\to 0^+} (G(3/2) - G(1 + \varepsilon)) + (G(1 - \varepsilon) - G(1/2)) = \\ (G(3/2) - G(1)) + (G(1) - G(1/2)) = G(3/2) - G(1/2). \end{align*} Dado que ambas componentes de la suma tienen un límite, la suma también debe tener un límite. (En otras palabras, el valor principal de Cauchy de la integral impropia $\int_{1/2}^{3/2} \frac{\log x}{(x-1)^2} dx$ existe).