Una pregunta sobre las colecciones que concuerdan con los enunciados lógicos en $ZF$

Question

Trabajar en $ZF + AR$ o $Z + AR$ , donde $AR$ representa el axioma de regularidad.

Terminología:

Siguiendo la terminología de Teoría de conjuntos - Jean-Louis Krivine :

Considere una colección $X$ y una declaración lógica $E(x_1, \dots, x_n)$ con $n$ cuyas variables son objetos de X. La declaración $E$ restringido a $X$ se denota como $E^X(x_1, \dots, x_n)$ y se define recursivamente como

1. $E$ es una de las formas: $x \in y, x = y, x \in a, x = a, a \in x, a \in b, a = b$ , donde $a$  y $b$ son objetos de $X$ la declaración restringida $E^X$ es $E$ sí mismo.
2. $E$ es $\text{not}\; F$ Entonces $E^X$  es $\text{not}\; F^X$
3. $E$ es $F \; \text{or} \; G$ Entonces $E^X$ es $F^X \,\text{or} \; G^X$ .
4. $E$ es $\exists x F(x, x_1, \dots, x_n)$ Entonces $E^X$ es $\exists x[X(x) \land F^X(x, x_1, \dots, x_n)]$ .

Decimos que una colección $X$ está de acuerdo con $E$ si $$\forall x_1 \dots \forall x_k[X(x_1) \land \dots \land X(x_k) \implies (E(x_1, \dots, x_k) \Leftrightarrow E^X(x_1, \dots, x_k))].$$

Podemos ver que si la declaración $E$ es sin cuantificadores; $E^X = E$ por lo tanto, cualquier colección está de acuerdo con $E$ .

Si $E$ no tiene una variable libre entonces " $V_\beta$ está de acuerdo con $E$ " significa que " $E$ es verdadera en el universo si es verdadera en $V_\beta$ ."

Problema

A mi entender, para todas las declaraciones $E(x_1, \dots, x_n)$ cuyos parámetros están en una colección arbitraria $X$ Debería trivialmente seguir que $X$ está de acuerdo con $E(x_1, \dots, x_n)$ . ¿Hay alguna declaración $E(x_1, \dots, x_n)$ cuyos parámetros están en $X$ para alguna colección $X$ , de tal manera que $X$ no está de acuerdo con $E$ ?

Además, cuando se trata de declaraciones sin variables libres. Es

$$E = \forall x\exists y[P(x) \in y]$$ una declaración que no está de acuerdo con, digamos, $V_3$ , donde $V_\alpha$ es la etapa de von Neumann de orden $\alpha$ pero está de acuerdo con, digamos, $V_\omega$ ?

Answer 1

A mi entender, para todas las declaraciones $E(x_1, \dots, x_n)$ cuyos parámetros están en una colección arbitraria $X$ Debería trivialmente seguir que $X$ está de acuerdo con $E(x_1, \dots, x_n)$ .

No, en absoluto. Creo que tal vez tengas un malentendido: usar parámetros no significa que no puedas también tienen otras variables que se cuantifican. Para un ejemplo muy simple, dejemos que $a$ sea un conjunto cualquiera y $X=\{a\}$ . Sea $E(x)$ sea la declaración $\exists y[x\in y]$ . Entonces $E(a)$ es verdadera (toma $y=\{a\}$ ) pero $E^X(a)$ es falso (ya que $a\not\in a$ ).

Tenga en cuenta también que cualquier sentencia sin variables libres es también una "sentencia con parámetros en $X$ ". Su número $n$ de los parámetros resulta ser $0$ . O bien, se puede considerar como una afirmación con cualquier número de parámetros, excepto que sus parámetros no aparecen realmente en ninguna parte de la misma (por lo que su valor no afecta a la verdad de la afirmación). La parte operativa de la frase "con parámetros en $X$ " es "en $X$ ": no está permitido hacer que los parámetros tomen valores que no están en $X$ .

Es $$E = \forall x\exists y[P(x) \in y]$$ una declaración que no está de acuerdo con, digamos, $V_3$ , donde $V_\alpha$ es la etapa de von Neumann de orden $\alpha$ pero está de acuerdo con, digamos, $V_\omega$ ?

Este es realmente un poco sutil. El problema es que " $P(x)$ " no es en realidad un término válido en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Más bien, la expresión $z=P(x)$ es la abreviatura de $$\forall w[w\in z\Leftrightarrow\forall v[v\in w\Rightarrow v\in x]].$$ Si quiere expresar su declaración $E$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos, hay algunas formas diferentes de hacerlo, que son equivalentes en el universo pero no necesariamente cuando se relativiza a un conjunto $X$ . Por ejemplo, puede escribir $E$ como $$\forall x\exists y\forall z[z=P(x)\Rightarrow z\in y]$$ (donde $z=P(x)$ es una abreviatura como la anterior). O puede escribirse como $$\forall x\exists y\exists z[z=P(x)\wedge z\in y].$$ Estas dos afirmaciones son equivalentes en el universo, ya que para cualquier $x$ hay un único $z$ que satisface $z=P(x)$ . Sin embargo, en un conjunto como $X=\{a\}$ no son equivalentes: la primera es verdadera, ya que al tomar $x=a$ no existe ningún $z\in X$ tal que $(z=P(a))^X$ es verdadera, por lo que $\forall z[z=P(a)\Rightarrow z\in y]$ es vacuamente verdadera (y podemos establecer $y=a$ ). Pero por la misma razón, la segunda es falsa.

En cuanto a su pregunta, resulta que en realidad ambas versiones son ciertas en $V_\omega$ y falso en $V_3$ , por lo que ambas afirmaciones coinciden con $V_\omega$ pero no con $V_3$ . Incluso la primera versión falla en $V_3$ porque si se pone $x=\{\emptyset\}$ entonces $z=P(x)$ es un elemento de $V_3$ pero no es un elemento de ningún elemento de $V_3$ .