Supongamos que un maestro contrata $n$ los sirvientes que trabajan para él. Al final de la jornada, el servicio acude a él y solicita un salario por su servicio. Pueden solicitar un salario hasta $\$ 1$ pero no más.
Con $1/2$ probablemente, el amo está de buen humor y dará a todos los sirvientes el salario solicitado.
Con $1/2$ probabilidad, el amo está de mal humor y sólo paga al sirviente con la petición más baja; sin embargo, le paga el salario $g(x)$ donde $g$ es una variable continua, diferenciable y monótonamente creciente $g(0)=0$ y $x$ es el salario solicitado por el siervo que pidió el salario más alto. Si hay un empate en este estado, entonces nadie recibe ningún salario.
Ningún sirviente sabe si el amo está de buen o mal humor y todos comparten la creencia previa a medias.
Demuestre que existe un equilibrio simétrico (Nash) en el que cada sirviente hace una solicitud de salario según la misma distribución sobre algún intervalo en $[0,1]$ . Esto significa que cualquier lugar en el soporte de este intervalo dará el mismo salario esperado al sirviente condicionado a la estrategia utilizada por los demás y, por supuesto, cualquier lugar fuera del intervalo da el mismo o menor salario esperado.
Demuestre que este equilibrio es único entre los equilibrios simétricos.
Progreso:
Sea A el estado de buen humor y B el estado de mal humor del mundo.
Tenga en cuenta que los sirvientes nunca querrán empatar y, por lo tanto, una solución simétrica nunca contendrá átomos.
Dejemos que $F$ sea la distribución de equilibrio y considere el máximo del soporte $\bar{w}$ . Cualquier oferta salarial cercana al máximo de la ayuda se vuelve arbitrariamente improbable de ser pagada en el estado B (esto se deduce de la ausencia de átomos). En este caso, si $\bar{w}< 1$ El funcionario acabará ganando más en la expectativa al renunciar a ganar nada en el estado B y será mejor que solicite $\$ 1$ . Esto implica que el máximo debe ser uno.
Porque cada solicitud de ayuda debe ganar el mismo salario esperado, y $\$ 1$ está en el soporte, el salario esperado es $\$ 1/2$ . A partir de esto podemos escribir una ecuación para el salario esperado para cualquier solicitud en el intervalo: \begin{align} 1=\frac{1}{2}w+\frac{1}{2} \left(1-F(w) \right)^{n-1} \int_w^1 g(z) f(z) (n-1) \frac{(F(z)-F(w))^{n-2}}{(1-F(w))^{n-1}} \;dz\\ 1=\frac{1}{2}w+\frac{1}{2} (n-1) \int_w^1 g(z) \left( F(z)-F(w)\right)^{n-2} \;dF(z) \end{align} Aquí, dada una propuesta de salario $w$ y asumiendo todos los demás $(n-1)$ Los sirvientes utilizan una estrategia mixta según $F$ , $(1-F(w))^{n-1}$ es la probabilidad de que todos los demás salarios solicitados sean superiores a $w$ y que se efectuará el pago. Dado que una solicitud fue superior a $w$ su distribución es entonces la distribución truncada $\frac{F(z)-F(w)}{1-F(w)}$ . La distribución del máximo de esto es entonces $\left(\frac{F(z)-F(w)}{1-F(w)}\right)^{n-1}$ . Si existe un pdf, el pdf máximo es entonces $ f(z) (n-1) \frac{(F(z)-F(w))^{n-2}}{(1-F(w))^{n-1}}$ que es lo que aparece en la primera integral.
El término integral es el salario esperado dada la solicitud $w$ .
Me parece obvio que el $F$ debería existir y ser único, sólo que parece difícil demostrarlo para un $n$ . ¿Tal vez debería haber alguna forma sencilla de argumentar esto?
