Integral: $\int_0^{\infty} e^{-ab\cosh x}\cos\left(ac\sinh(x)+\frac{ix}{2}\right)\,dx$

Question

Estoy tratando de resolver esto: $$\int_0^{\infty} e^{-ab\cosh x}\cos\left(ac\sinh x+\frac{ix}{2}\right)\,dx$$

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No tengo muchas ideas sobre el problema. He pensado en escribir $\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ pero no pudo continuar después de eso.

$$\Large \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \left(e^{ -(ab\cosh x-iac \sinh x)-\frac{x}{2}}+e^{ -(ab\cosh x+iac \sinh x)+\frac{x}{2}}\right)\,dx$$

$\displaystyle \begin{aligned} ab\cosh x-iac\sinh x &=a\sqrt{b^2+c^2}\left(\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\cos(ix)-\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}\sin(ix)\right)\\ &=a\sqrt{b^2+c^2}\sin\left(\alpha-ix\right)\\ \end{aligned}$

De la misma manera,

$\displaystyle \begin{aligned} ab\cosh x+iac\sinh x &=a\sqrt{b^2+c^2}\left(\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\cos(ix)+\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}\sin(ix)\right)\\ &=a\sqrt{b^2+c^2}\sin\left(\alpha+ix\right)\\ \end{aligned}$

donde $\alpha=\arcsin\left(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)$

Así que la integral se puede simplificar a:

$$\Large \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \left(e^{-a\sqrt{b^2+c^2}\sin\left(\alpha-ix\right)-\frac{x}{2}}+e^{-a\sqrt{b^2+c^2}\sin\left(\alpha+ix\right)+\frac{x}{2}}\right)\,dx$$

Se aprecia una solución sin utilizar la integración de contornos. Gracias.

Answer 1

1. Utilizando las propiedades de paridad, la integral puede reescribirse como $$I=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ab\cosh x+iac\sinh x-\frac{x}{2}}dx$$

2. Tenga en cuenta que $b\cosh x-ic\sinh x=\sqrt{b^2+c^2}\cosh\left(x-i\phi\right)$ con $$\cos\phi=\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}},\qquad\sin\phi=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}.$$ Por lo tanto, el cambio $x$ por $i\phi$ [para ello tenemos que suponer que $\phi\in(-\pi/2,\pi/2)$ ], obtenemos $$I=\frac{e^{-i\phi/2}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\sqrt{b^2+c^2}\cosh x-\frac{x}{2}}dx$$

3. La última integral puede expresarse en términos de la Función Macdonald $K_{\nu}(r)$ que tiene representación integral $$K_{\nu}(r)=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-r\cosh x\pm\nu x}dx.$$ Además, para $\nu=\frac12$ esta función se reduce a una elemental : $\displaystyle K_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}e^{-x}$ .

Por lo tanto, el resultado final es $$\boxed{\displaystyle I= \sqrt{\frac{\pi}{2a\sqrt{b^2+c^2}}}\;\exp\left\{-a\sqrt{b^2+c^2}-\frac{i}2\arctan\frac{c}{b}\right\}}$$