¿Cómo demostrar que dos productos internos son iguales?

Question

Mi profesor nos dijo que hay un teorema que dice que dado un espacio vectorial de dimensión finita $V$ con el producto interno $<|>_V$ podemos tener algún tipo de relación entre el producto interno $<|>_V$ y el producto interno estándar de $\mathbb R^n$ . ¿Qué es este teorema? ¿Dónde puedo encontrar este teorema?

Por ejemplo, $V$ es $\mathbb R_1[t]$ , polinomios de primer orden de la variable $t\in \mathbb R$ con la base estándar. Supongamos que tenemos una función de $\mathbb R_1[t] \times\mathbb R_1[t] \to \mathbb R$ definido por $$<a_0+ a_1t \mid b_0+b_2 t> = a_0b_0+a_1b_1.$$ Cómo demostrar que se trata de un producto interior mostrando que esta función es la "misma" que el producto interior estándar en $\mathbb R^2$ ?

Answer 1

Se utiliza el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal $\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ para $V$ . Existe un único mapa lineal $L$ de $V$ a $\Bbb R^n$ que mapea $v_i$ a $e_i$ . Este mapa es también una isometría lineal, que preserva el producto interior en el sentido de que $\langle Lv,Lw\rangle_{\Bbb R^n}=\langle v,w\rangle_V$

Answer 2

Esta es su respuesta:

Todo espacio vectorial n-dimensional es isomorfo a $\mathbb R^n$

El producto interno RE, como dijo @edm, utiliza cualquier base ortonormal de V: para cualesquiera dos vectores v,w en V, hay vectores únicos x,y de $\mathbb R^n$ que son las coordenadas de v,w en la base. Por definición de base ortonormal: $$ <v,w>_V = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$ que no es más que el producto interno estándar de $\mathbb R^n$

Para demostrar la ecuación anterior, escribe $ v = \sum_i x_i e_i $ donde $(e_1, \cdots, e_n)$ es la base ortonormal, y de forma similar para $w$ usando j como índice, luego calcular su producto interno como suma doble usando la propiedad bilineal... todos los productos internos $<e_i,e_j>$ se simplifica a 0 cuando $i\neq j$ y 1 en caso contrario... ¡ya está!