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¿Cómo demostrar que dos productos internos son iguales?

Mi profesor nos dijo que hay un teorema que dice que dado un espacio vectorial de dimensión finita VV con el producto interno <|>V<|>V podemos tener algún tipo de relación entre el producto interno <|>V<|>V y el producto interno estándar de Rn . ¿Qué es este teorema? ¿Dónde puedo encontrar este teorema?

Por ejemplo, V es R1[t] , polinomios de primer orden de la variable tR con la base estándar. Supongamos que tenemos una función de R1[t]×R1[t]R definido por <a0+a1tb0+b2t>=a0b0+a1b1. Cómo demostrar que se trata de un producto interior mostrando que esta función es la "misma" que el producto interior estándar en R2 ?

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edm Puntos 133

Se utiliza el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal {v1,v2,,vn} para V . Existe un único mapa lineal L de V a Rn que mapea vi a ei . Este mapa es también una isometría lineal, que preserva el producto interior en el sentido de que Lv,LwRn=v,wV

2voto

Mark W Puntos 78

Esta es su respuesta:

Todo espacio vectorial n-dimensional es isomorfo a Rn

El producto interno RE, como dijo @edm, utiliza cualquier base ortonormal de V: para cualesquiera dos vectores v,w en V, hay vectores únicos x,y de Rn que son las coordenadas de v,w en la base. Por definición de base ortonormal: <v,w>V=ni=1xiyi que no es más que el producto interno estándar de Rn

Para demostrar la ecuación anterior, escribe v=ixiei donde (e1,,en) es la base ortonormal, y de forma similar para w usando j como índice, luego calcular su producto interno como suma doble usando la propiedad bilineal... todos los productos internos <ei,ej> se simplifica a 0 cuando ij y 1 en caso contrario... ¡ya está!

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