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¿Cómo demostrar que dos productos internos son iguales?

Mi profesor nos dijo que hay un teorema que dice que dado un espacio vectorial de dimensión finita V con el producto interno <|>V podemos tener algún tipo de relación entre el producto interno <|>V y el producto interno estándar de Rn . ¿Qué es este teorema? ¿Dónde puedo encontrar este teorema?

Por ejemplo, V es R1[t] , polinomios de primer orden de la variable tR con la base estándar. Supongamos que tenemos una función de R1[t]×R1[t]R definido por <a0+a1tb0+b2t>=a0b0+a1b1. Cómo demostrar que se trata de un producto interior mostrando que esta función es la "misma" que el producto interior estándar en R2 ?

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edm Puntos 133

Se utiliza el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal {v1,v2,,vn} para V . Existe un único mapa lineal L de V a Rn que mapea vi a ei . Este mapa es también una isometría lineal, que preserva el producto interior en el sentido de que Lv,LwRn=v,wV

2voto

Mark W Puntos 78

Esta es su respuesta:

Todo espacio vectorial n-dimensional es isomorfo a Rn

El producto interno RE, como dijo @edm, utiliza cualquier base ortonormal de V: para cualesquiera dos vectores v,w en V, hay vectores únicos x,y de Rn que son las coordenadas de v,w en la base. Por definición de base ortonormal: <v,w>V=ni=1xiyi que no es más que el producto interno estándar de Rn

Para demostrar la ecuación anterior, escribe v=ixiei donde (e1,,en) es la base ortonormal, y de forma similar para w usando j como índice, luego calcular su producto interno como suma doble usando la propiedad bilineal... todos los productos internos <ei,ej> se simplifica a 0 cuando ij y 1 en caso contrario... ¡ya está!

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