métrica en tres esferas y SU(2)

Question

Considere $S^3$ $i.e$ \begin{align} x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 =1 \end{align} Tenga en cuenta que en $\mathbb{R}^4$ con sistema métrico o $\mathbb{S}^3$ tenemos \begin{align} ds^2 = l^2 (dx_0^2 + dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2) = l^2 (\cos^2(\theta) d\varphi^2 + \sin^2(\theta) d^2 \chi + d\theta^2) \end{align} lo que quiero hacer es interpretar esto $S^3$ como un colector de grupo $SU(2)$ \begin{align} g=\begin{pmatrix} x_0 + ix_3 & ix_1 +x_2 \\ ix_1 - x_2 & x_0-ix_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta)e^{i\varphi} & \sin(\theta) e^{i\chi} \\ -\sin(\theta)e^{-i\chi} & \cos(\theta)e^{-i\varphi} \end{pmatrix} \en SU(2) \end{align} En este caso la métrica se escribe como \begin{align} ds^2 = l^2 dx_a dx_a = \frac{l^2}{2} Tr(dg^{\dagger} dg) = -\frac{l^2}{2} Tr(g^{-1} dg)^2 \end{align}

tengo algunas preguntas

1. Cómo podemos obtener \begin{align} dx_a dx_a = \frac{1}{2} Tr(dg^{\dagger} dg) \end{align}

2. Cómo podemos obtener \begin{align} Tr(dg^{\dagger} dg) = - Tr(g^{-1} dg)^2 \end{align}

Si no te importa, por favor, recomiéndame algunos libros de texto relevantes.

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Creo que he resuelto la segunda pregunta Para $g \in SU(2)$ \begin{align} &g^{\dagger} g=1, \qquad g^{\dagger} = g^{-1} \\ & dg^{-1} g + g dg^{-1} =0, \qquad \Rightarrow \qquad d(g^{-1}) = - g^{-1} dg g^{-1} \end{align} Así que he comprobado el segundo

Answer 1

Si simplemente quiere verificar que $dx_adx_a=\frac{1}{2}\text{Tr}(dg^{\dagger}dg)$ en este caso concreto, puedes hacer lo siguiente:

Piensa en $dg$ como una matriz valorada de una forma, es decir, en su parametrización, $dg=A_adx^a$ excepto que ahora los coeficientes toman valores matriciales en lugar de valores reales. Entonces un cálculo directo puede mostrar $$dg=\begin{pmatrix} -\sin(\theta) e^{i\phi} & \cos(\theta)e^{i\chi} \\-\cos(\theta)e^{-i\chi} & -\sin\theta e^{-i\phi} \end{pmatrix} d\theta+\begin{pmatrix}i\cos(\theta)e^{i\phi}& 0\\ 0& -i\cos(\theta)e^{-i\phi}\end{pmatrix} d\phi+\begin{pmatrix}0 & i\sin\theta e^{i\chi}\\i\sin\theta e^{-i\chi}& 0\end{pmatrix}d\chi, $$ y $dg^{\dagger}=(A_a)^{\dagger}dx^a$ .

Ahora $dg^{\dagger}dg$ es por lo tanto $(A_a)^{\dagger}A_b dx^adx^b$ Ahora puede calcular $Tr((A_a)^{\dagger}A_b)dx^adx^b$ para obtener $2(\cos^2(\theta) d\phi^2 +\sin^2(\theta) d^2 \chi + d\theta^2)$ . Se puede ver directamente que produce los coeficientes correctos para la métrica en la diagonal, y un breve cálculo puede mostrar que otros desaparecen.