Aplicaciones de las bases de Gröbner

Question

Me gustaría presentar una aplicación de las bases de Gröbner. El público es una clase de estudiantes de primer año de posgrado que están cursando el primer año de álgebra.

¿Alguien tiene sugerencias sobre una aplicación específica que el público apreciaría?

Answer 1

Dado que los algoritmos de las bases de Grobner pueden considerarse como generalizaciones no lineales de la eliminación de Gauss para sistemas de ecuaciones lineales, tienen una aplicabilidad muy amplia. A continuación se presenta una colección aleatoria de aplicaciones de las bases de Grobner.

• cálculo efectivo con funciones especiales (holonómicas)

• resolución de ecuaciones diofantinas (Pell)

• demostración automatizada de teoremas de geometría.

• teoría de la codificación

• procesamiento de señales e imágenes

• robótica

• problemas de coloreado de gráficos, por ejemplo Rompecabezas Sudoku

• extrapolar los "eslabones perdidos" en paleontología, y construcción del árbol filogenético

Answer 2

• encontrar los puntos de intersección de un par de cónicas (elegir los coeficientes adecuados para que no sea tan tedioso hacer toda la manipulación)

• describir el movimiento de un brazo robótico con bisagras simples restringidas o epiciclos planetarios (hacer una cardioide a partir de dos ecuaciones)

• colorabilidad de un gráfico (véase Un curso intensivo... ) (cuando se presenta la construcción, es muy fácil ver que el algoritmo produce una solución)

Answer 3

Me enteré de una aplicación genial aquí en Math.SE donde había pedido un pregunta para parametrizar $$x=2t-4t^3$$ $$y=t^2-3t^4$$

No había una forma directa de eliminar $t$ Sin embargo, un usuario señaló

utilizando una rutina de base de Gröbner como la de Mathematica da fácilmente la ecuación cartesiana implícita $$27x^4-4x^2(36y+1)+16y(4y+1)^2=0$$

En Mathematica: GroebnerBasis[{x == 2t - 4t^3, y == t^2 - 3t^4}, {x, y}, t]

Sin embargo, dudo que esto sea fascinante para los graduados.

Answer 4

Estas son las cosas para las que uso las bases de Grobner, que ciertamente me parecen interesantes:

1. Extensión del algoritmo de división univariante a polinomios multivariantes (aunque no es un verdadero algoritmo de división euclidiana, sigue siendo útil).

2. (relacionado) Generadores informáticos para $I_1 + I_2$ donde $I_1,I_2$ son ideales en un anillo polinómico multivariado (digamos $\mathbb{C}$ ), y utilizando esto para determinar $I(V_1\cap V_2)$ donde $V_1$ y $V_2$ son variedades afines en $\mathbb{A}^n$ para $n > 1$ .

No estoy seguro de que esto le interese a usted o a los estudiantes a los que va a presentar, pero espero que al menos sea un comienzo.