Voy a responder primero a tu segunda pregunta porque es la más fácil de las dos. Cuando se mira la imagen y se mira el camino $\lambda_2$ Todo lo que ves es esa partícula $1$ se mueve alrededor de la partícula $2$ . En este marco, $2$ es estacionario. Sin embargo, como indica la figura, debes cambiar al marco del centro de masa. En este marco, la mitad de la trayectoria $\lambda_2$ $1$ está en la posición de $2$ y $2$ está en la posición de 1. Es decir, las dos partículas se han intercambiado como se definiría en la mecánica estadística. Al terminar el camino se intercambian de nuevo. Aquí, rodear es no un sinónimo de intercambio. La redacción del artículo es específica para ese punto. $1$ rodeando $2$ corresponde a un par de los intercambios.
Ahora bien, para empezar a pensar en la primera pregunta hay que partir de los principios de conservación. Como físicos, nos gusta la conservación. Define bien tu sistema y cuenta todo lo que interviene con cuidado y la energía/momento/carga total del sistema no cambia. Es la ley por una buena razón.
Si sólo tenemos dos partículas (aisladas) entonces tenemos conservación del momento por definición. Decir que la energía se conserva es simplemente decir que vamos a contar todo, pero vayamos más allá y supongamos que tenemos una condición un poco más estricta: la conservación de la energía mecánica, es decir, que no se pierde energía por la radiación espontánea ni por las interacciones térmicas con el fondo, ni nada por el estilo. Simplifiquemos las cosas: dos partículas.
Ahora bien, la conservación de la energía mecánica es la afirmación de que todas las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas. Específicamente, recuerda que una fuerza es conservativa si y sólo si el trabajo realizado es independiente de la trayectoria. Si estamos hablando de mover una partícula, obviamente estamos hablando de la existencia de una fuerza y, como debe ser conservativa, sólo importan los estados inicial y final.
Ahora, pasemos a pensar en las cosas en el espacio de fase del sistema. Aquí podemos prescindir de las fuerzas, pero seguimos necesitando una forma de mantener la idea de la independencia de la trayectoria, ya que era fundamental para nuestra suposición de la conservación de la energía mecánica.
Ahora, si tengo tu imagen de arriba, cada punto alrededor $\lambda_1$ representa la ubicación de la partícula $1$ en algún momento de la evolución del sistema. Si lo cambio sólo un poco, lo hago un poco más largo o más corto al final, entonces no cambia realmente lo que estoy haciendo con mi partícula allí, ¿verdad? Si crees que sí, entonces imagina cambios más pequeños hasta que te convenzas de que hay un pequeño cambio que, si miraras el sistema antes y después, no podrías decir si ha ocurrido o no. En este caso, lo que has hecho es convencerte de que estos dos caminos son equivalentes y que puedes conseguir el segundo con un pequeño empujón del primero. La forma adecuada de decir esto es que el segundo es una deformación infinitesimal del primero. Esto lleva fácilmente a la siguiente definición: dos caminos son equivalentes si y sólo si uno puede obtenerse del otro mediante una deformación continua.
Ahora podemos responder a la primera parte de su primera pregunta: Que el estado final determina el cambio en el sistema es una afirmación de que la energía mecánica del sistema se conserva, lo cual es cierto si y sólo si el trabajo realizado es independiente de la trayectoria, lo cual es cierto si y sólo si todas las trayectorias a través del espacio de fase pueden conectarse continuamente. Esto también responde a la segunda parte de tu primera pregunta: En 3D cada camino debe ser equivalente a no hacer nada porque siempre puedo empujarlos a caminos ligeramente diferentes y más pequeños hasta que eventualmente llego a donde nada ha ido a ninguna parte.
Si nos detenemos aquí por un momento podemos ver, cualitativamente, por qué sólo hay dos tipos posibles de estadísticas de intercambio en 3D. Como todo lo que hemos hecho es evolucionar el sistema alrededor de un bucle cerrado para volver exactamente al punto de partida, debemos tener que el operador unitario correspondiente a esta operación es la identidad. Volviendo a lo anterior, vimos que esto corresponde a un par de operaciones de intercambio, por lo que debemos tener entonces que $P_{12}^2 = 1$ . Si suponemos (como debe ser) que las dos partículas implicadas son idénticas, entonces $P_{12}$ corresponde a la multiplicación de $\vert \psi \rangle$ por un escalar, por lo que necesitamos un número $P$ tal que $P^2 = 1$ . Esto, por supuesto, nos da que el vector de estado debe ser simétrico o antisimétrico bajo el intercambio de partículas.
Pensar en las cosas de esta manera también ilustra por qué las dos dimensiones son tan extrañas. En dos dimensiones la deformación $\lambda_2$ para que no rodee $2$ requiere $\lambda_2$ sea equivalente a un camino que pasa directamente por $2$ , es decir, que por un momento $1$ ocupa literalmente el mismo espacio físico que $2$ lo cual está totalmente prohibido. Por lo tanto, $\lambda_1$ no puede ser equivalente a $\lambda_2$ ¡!
Una forma fácil (y divertida) de comprobarlo en casa es coger dos monedas de un céntimo y un trozo de cuerda. La cuerda representa el camino $\lambda$ y las deformaciones de la trayectoria se manejan sujetando los extremos y luego empujando la cuerda. Es trivial reproducir las trayectorias $\lambda_1$ y $\lambda_2$ .. IInn ppaarrttiiccuullaarr,, ddee uunn ssuurrffaacciióónn ddee llaa ccoonnttrraacciióónn ddee llaa ccoonnttrraacciióónn ddee llaa ccoonnttrraacciióónn,,. e l e s tptraririntngig c auanlndad r p,pl laoacnce e a b bofotlthah t e ensndudsrs f uauncndede,er rntneaeakateth h t ohonene e s ptpereninnnnygy, , a fnfodor rmilinangcg e a b lolotoohop p,e, n adansnd d u pnpldlaeacrcene e taththehe sosenececo onpnded n pnpeyen,nn nyfy o irinmnsisinidgde e a tlheoe o lplo,oo opap n (d(s sopo l wawece e h hatavhveee asa e pcpaoatnthdh epeqequnuinivyva alilenensntit d teto o t he loop (así que tenemos un camino equivalente a $\lambda_2$ . De este modo, podemos ver literalmente que en 3D todo camino es trivial: basta con sacar el bucle del plano y encogerlo.
También podemos ver la rareza de las dos dimensiones: si todo se queda en el plano, entonces la cuerda no puede dar la vuelta al centavo - $\lambda_2$ no es equivalente a $\lambda_1$ . Si repito $\lambda_2$ Ahora tengo dos bucles de cuerda alrededor del segundo centavo. Por último, si tomo un extremo del cordel y lo trazo hacia atrás a lo largo de sí mismo hasta que los dos extremos vuelvan a estar uno al lado del otro (en el primer centavo) tengo un bucle, pero ahora ese bucle no rodean el segundo centavo y deben ser equivalentes al camino trivial (y $\lambda_1$ .
Ahora podemos terminar el ejercicio. $\lambda_2$ y $\lambda_1$ no son equivalentes, pero $\lambda_2$ sigue correspondiendo a un par de intercambios de (cuasi) partículas idénticas. Para ver qué tipo de cosas $\lambda_2$ hace al vector de estado tenemos que mirar el grupo de rotaciones en 2-D, que es $SO(2)$ . $SO(2)$ es conmutativo y el grupo de rotaciones en 3D, $SO(3)$ no lo es. De aquí se obtiene que el operador correspondiente a $\lambda_2$ puede, en general, ser cualquier fase $e^{\imath \phi}$ . Esto hace evidente que si trazo $\lambda_2$ dos veces voy a conseguir $e^{2 \imath \phi}$ pero si voy al revés y tomo $\lambda_2$ hacia atrás, ahora tengo un camino en el que $1$ no rodear $2$ y esto debe sea la identidad. Todo lo demás permanece igual, excepto que $\lambda_2^2$ no es la identidad. Esto nos da inmediatamente que para un sistema de $n$ los operadores de intercambio de partículas deben dar lugar a una representación del grupo de las trenzas $B_n$ en lugar del grupo simétrico $S_n$ .
Aquí se argumenta que en 3D después de tomar la partícula de la izquierda alrededor de la trayectoria 1 o 2 el sistema debe estar en el mismo estado ya que la trayectoria 1 se puede deformar continuamente para crear la otra, que por la misma razón es como dejar la partícula en su lugar (trayectoria $0$ ), dando -
