filosofía : primer axioma de la geometría y curvatura variable

Question

El primer axioma de la geometría puede describirse como

Dos puntos diferentes se encuentran en una sola línea.

Y me preguntaba ¿hay superficies en las que este axioma falla irremediablemente? y he encontrado una. (así que hay infinidad de ellas)

Por ejemplo

suponga la superficie de un toro centrado en el origen con un radio mayor de 3 y un radio menor de 1 simétrico en el plano z = 0

$ x(\theta, \varphi) = (3 + 1 \cos \theta) \cos{\varphi} $

$ y(\theta, \varphi) = (3 + 1 \cos \theta) \sin{\varphi} $

$ z(\theta, \varphi) = 1 \sin \theta $

Llevar a los puntos $P = (4,0,0) $ y $Q = ( 0,2,0) $ hay dos líneas entre estos dos puntos.

(una línea pasa por $ ( \sqrt{4.5} , \sqrt{4.5} , 1) $ la otra línea pasa por $ ( \sqrt{4.5} , \sqrt{4.5} , -1) $ )

Esto me hizo preguntarme:

• ¿Falla este axioma en todas las geometrías con curvatura variable?

• ¿cómo se puede hacer geometría en estas superficies, sin referirse a alguna estructura de incrustación?

• ¿Cuáles son las consecuencias filosóficas de esto, por ejemplo cuando asumimos la flexión del espacio bajo la influencia de la masa?

¿hay pilósofos o matemáticos que hayan escrito sobre esto?

cualquier información es bienvenida

Answer 1

El caso más conocido en el que falla este axioma es geometría esférica donde los grandes círculos desempeñan el papel de "líneas". Dos puntos antípodas tienen una infinidad de grandes círculos diferentes en común.

¿Falla este axioma en todas las geometrías con curvatura variable?

No. Por ejemplo, se corta un pequeño disco del plano hiperbólico y se rodea con un plano que se extiende hacia el infinito. Así se obtiene una especie de "pseudocono" redondo que abarca más de 360° (visto desde el entorno plano), y dos puntos cualesquiera tienen exactamente una geodésica entre ellos.

En general, si la superficie es homeomorfa al plano habitual y su curvatura gaussiana de la superficie es no positivo en todas partes, no puede contener ningún bigón geodésico no trivial.

¿cómo se puede hacer geometría en estas superficies, sin referirse a alguna estructura de incrustación?

La geometría sintética a la manera de Euclides no va bien en este tipo de superficies, pero el razonamiento sobre ellas intrínsecamente es lo que la mayoría de geometría diferencial es sobre.

¿Cuáles son las consecuencias filosóficas de esta

Ninguno que pueda ver.

Answer 2

Existe un concepto muy relacionado en la geometría moderna (riemanniana) llamado NCP (No Conjugate Points); NCP en una variedad riemanniana completa simplemente conectada implica que dos puntos cualesquiera pueden estar conectados por una geodésica única (minimizadora): Tales geodésicas pueden considerarse como generalizaciones de la noción de Euclides de un línea . Por ejemplo, todas las variedades completas simplemente conectadas de curvatura no positiva satisfacen la NCP. Algunas referencias al azar: aquí , aquí , aquí y aquí . El tercero de los enlaces contiene una demostración de la siguiente bella conjetura de Hopf:

Dejemos que $g$ sea una métrica riemanniana sin puntos conjugados en la $n$ -toro de dimensiones. Entonces $g$ es plana.

Por cierto, el siguiente problema de geometría riemanniana modelado en el 5º postulado de Euclides está abierto:

Supongamos que $S$ es una superficie riemanniana completa simplemente conectada de curvatura no positiva tal que para cada punto $x\in S$ y cada geodésica completa $L\subset S$ que no contenga $x$ existe una única geodésica completa $L'$ a través de $x$ que es disjunta de $L$ . (Es decir, a través de cada punto de $S$ existe una única geodésica paralela a $L$ .) Entonces $S$ es isométrico al plano euclidiano.