¿Suma de exponentes equivalente a la tarjeta (compuestos menores o iguales a x)?

Question

Consideremos un primo de la función de Chebyshev:

$$t(x) = \sum \alpha_i $$ tal que $$ p_i^{\alpha_i }= x, \ p_i \leq x$$

Especulé que $ t(x) \sim C(x)$ los compuestos $\leq(x)$

Si $t(x) = \sum \alpha_i = \sum \log_{p_i}x = \sum \frac{\ln x}{\ln p_i } = \ln x \sum \frac{1}{\ln p_i}\sim \ln x $ Li(x) $ \sim \ln x \frac{x}{ \ln x} \sim x \sim C(x) $ .

Después de pensarlo un poco lo anterior parece estar bien, y también para

$$r(x) = \sum \beta_j $$ tal que $$c_j^{\beta_j }= x, \ c_j \leq x$$ en el que $c_j$ es el jº compuesto (excluyendo el 1).

Porque s = $\sum\frac{1}{\ln c_j} $ es casi $\sum \frac{1}{\ln x}$ se esperaría que $\ln x\sum \frac{1}{\ln c_j}\sim x$ también.

Mi pregunta persistente es la siguiente: ¿por qué

$\sum \beta_j - x \sim \pi(x)$ , o de forma equivalente, $\ln x\sum \frac{1}{\ln c_j}- x \sim \pi(x)$ ?

Un cálculo típico: x= 900.000, r(x) = 971141, r(x) - x = 71141 y $$\pi(x) = 71274$$

Answer 1

En primer lugar, quería señalar que la mayor parte de lo que has escrito no es correcto. $t(x)\sim\frac{x}{\log x}$ no $\sim x$ . Esto se debe a que si $\sum_{p\leq x}\sim \text{li(x)}$ entonces esperamos que al dividir por $\log p$ , voy a conseguir $\text{li}(x)/\log(x)$ y luego $t(x)\sim \text{li}(x)$ . Además, los cálculos están muy equivocados. Comprobando en Matlab, lo tengo: $$r(900000)=9000090.94\dots$$ y por lo tanto $$r(900000)-900000=90.94\dots$$ No has eliminado los primos correctamente. Ahora vamos a probar todo esto en su totalidad.

Algunas pruebas rigurosas: Vamos a repasar todo en detalle. Las dos series que está considerando son

$$t(x)=\log x\sum_{p\leq x}\frac{1}{\log p}$$ y $$r(x)=\log x\sum_{1<c\leq x}\frac{1}{\log c},\ \text{where }c>1\text{ is composite.}$$ Observe que $r(x)+t(x)=\sum_{2\leq n\leq x}\frac{1}{\log n}$ por lo que sólo tenemos que evaluar $\sum_{2\leq n\leq x}\frac{1}{\log n}$ y $\sum_{p\leq x}\frac{1}{\log p}$ . Primero

Lema 1: $$\sum_{2\leq n\leq x}\frac{1}{\log n}=\text{li}(x)-C+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$ donde la constante $C$ viene dada por $$C=\int_{2}^{\infty}\frac{\left\{ t\right\} }{t\left(\log t\right)^{2}}dt.$$

Prueba: Podemos escribirlo como una integral de Riemann-Stieltjes: $$\sum_{2\leq n\leq x}\frac{1}{\log n}=\int_{2}^{x}\frac{1}{\log t}d\left[t\right]=\int_{2}^{x}\frac{1}{\log t}dt-\int_{2}^{x}\frac{1}{\log t}d\left\{ t\right\}$$ donde $\left[t\right]$ y $\left\{ t\right\}$ son las partes mínima y fraccionaria de $t$ respectivamente. Utilizando la integración por partes y la definición de $\text{li}(x)$ esto es $$\text{li}(x)-\frac{\left\{ x\right\} }{\log x}-\int_{2}^{x}\frac{\left\{ t\right\} }{\left(\log t\right)^{2}}dt.$$

Observación: Aunque no he hecho el cálculo yo mismo, creo que la constante $C$ puede limpiarse en términos de otras constantes conocidas.

Lema 2: Tenemos que $$\sum_{p\leq x}\frac{1}{\log p}=\text{li}\left(x\right)-\frac{x}{\log x}+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right).$$

Prueba: Si $\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p$ podemos escribir $$\sum_{p\leq x}\frac{1}{\log p}=\int_{2}^{x}\frac{1}{\left(\log t\right)^{2}}d\theta\left(t\right)=\int_{2}^{x}\frac{1}{\left(\log t\right)^{2}}dt+\int_{2}^{x}\frac{1}{\left(\log t\right)^{2}}d\left(\theta(t)-t\right).$$ Para el primer término, observe que por integración por partes $$\int_{2}^{x}\frac{1}{\log t}dt=\frac{x}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{1}{\left(\log t\right)^{2}}dt.$$ Para el segundo término podemos utilizar la integración por partes junto con el teorema de los números primos que establece que $\theta(t)-t=O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right).$ Entonces $$\int_{2}^{x}\frac{1}{\left(\log t\right)^{2}}d\left(\theta(t)-t\right)=\frac{\left(\theta(x)-x\right)}{\left(\log x\right)^{2}}+2\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)-t}{t\left(\log t\right)^{3}}dt+O(1)$$ $$=O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right),$$ y el lema sigue.

Consecuencias: Juntando estos dos lemas, encontramos que: $$t(x)=\text{li}(x)\log x-x+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right),$$ $$r(x)+t(x)=\text{li}(x)\log x -C\log x+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right).$$ Tenemos que poner el término de error extra ya que estamos restando $r(x)$ y esto consumirá el $C\log x$ ya que es mayor. Por lo tanto, $$r(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right)$$ y $$r(x)-x=O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right).$$

Espero que eso ayude,