"Dos campos con diferentes parámetros de masa se encuentran en dos espacios de Hilbert diferentes".
¿Cómo voy a demostrar esto utilizando el concepto de que un campo consiste en una colección de osciladores armónicos? Tom Banks en su libro sobre qft da una sugerencia de utilizar la superposición del estado de tierra para llegar a una conclusión. Pero me falta algo en el medio. No soy capaz de averiguar cómo empezar.
Como referencia, se puede consultar el problema 2.4 del libro de Banks.
La pregunta es esencialmente el primer paso de Teorema de Haag . En su artículo original "On Quantum Field Theories" [Dan. Mat. Fys. Medd. 29 n12 (1955) pp.1-37] Haag resuelve realmente este problema. Quien busque una respuesta más detallada a esta cuestión debería empezar por ahí. Aquí está el enlace:
http://cds.cern.ch/record/212242/files/
comienza en la página 17. También hay una discusión decente de este problema en "Conceptual Framework of QFT" de Duncan, capítulo 10.5.
La esencia general de la prueba es que para dos colecciones finitas de osciladores armónicos, existe un operador unitario que conecta sus espacios de Hilbert, pero para un número infinito de osciladores no puede existir tal operador.
He aquí un breve e incompleto esbozo de la prueba.
Supongamos que tenemos dos colecciones finitas de operadores de creación y aniquilación.
$a_1(n),a_1^\dagger(n)$ para la masa $m_1$ y $a_2(n),a_2^\dagger(n)$ para la masa $m_2$ . (ambos con $n=1,2,3,...,N$ )
Entonces los espacios de Hilbert que nos interesan, $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$ pueden generarse aplicando polinomios finitos de los operadores de creación a los respectivos estados básicos, $|0_1\rangle$ y $|0_2\rangle$
Si suponemos que los dos conjuntos pueden relacionarse mediante las ecuaciones
$$a_1(n)=\cosh(\epsilon(n))a_2(n)+\sinh(\epsilon(n))a^\dagger(n)$$
$$a_1^\dagger(n)=\sinh(\epsilon(n))a_2(n)+\cosh(\epsilon(n))a^\dagger(n)$$
para alguna función $\epsilon(n)$ .
Entonces podemos construir un operador unitario, $U=e^{iT}$ con
$$T=\sum_{n=1}^N\frac{i\epsilon(n)}{2} \left(a_2^\dagger(n)a_2^\dagger(n)-a_2(n)a_2(n)\right),$$
que realiza la transformación anterior para los operadores de creación y aniquilación.
$$a_1(n)=Ua_2(n)U^\dagger$$
$$a_1^\dagger(n)=Ua_2^\dagger(n)U^\dagger$$
Tenga en cuenta que mientras $N$ es finito, $T$ es un operador autoadjunto perfecto.
Asumiendo que los estados básicos son vectores únicos que satisfacen, $$a_j(n)|0_j\rangle=0\ for\ all\ n\ \ (j=1,2),$$ lleva a $|0_1\rangle=U|0_2\rangle$ y una expresión similar para cada vector en $\mathcal{H}_1$ . Lo que significa que cada vector en $\mathcal{H}_1$ puede escribirse como una combinación finita de vectores en $\mathcal{H}_2$
Para los operadores de creación y aniquilación asociados a campos libres hay un número infinito de operadores de creación y aniquilación. Jugando con las expresiones habituales para $\phi$ y $\pi$ es posible obtener la relación entre los operadores de creación y aniquilación en la forma que asumimos antes, pero esta vez con el parámetro continuo $\bar p$ sustituyendo a $n$ .
$$a_1(\bar p)=\cosh(\epsilon(\bar p))a_2(\bar p)+\sinh(\epsilon(\bar p))a^\dagger_2(\bar p)$$
$$a_1^\dagger(\bar p)=\sinh(\epsilon(\bar p))a_2(\bar p)+\cosh(\epsilon(\bar p))a^\dagger_2(\bar p)$$
Aquí $\epsilon(\bar p)$ es igual a algo como $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\bar p^2+(m_1)^2}{\bar p^2+(m_2)^2}\right)$ dependiendo de las convenciones que utilices. (ten en cuenta que para obtener esta expresión tendrás que suponer que los campos y los momentos conjugados coinciden en algún momento fijo, $\phi_{m_1}(\bar x,0)=\phi_{m_2}(\bar x,0)$ etc.)
En este caso encontramos que la generatriz de esta transformación viene dada por, $$T'=\int d\bar p\frac{i\epsilon(\bar p)}{2} \left(a_2^\dagger(\bar p)a_2^\dagger(\bar p)-a_2(\bar p)a_2(\bar p)\right)$$
Así que si $|0\rangle_1$ está en $\mathcal{H}_2$ tendría que tener la forma
$$|0_1\rangle=e^{iT'}|0_2\rangle$$ .
Pero si intentas calcular la norma de este vector te encuentras con algunos problemas, A saber, que $$\|T|0_2\rangle\|=\infty.$$
Lo que significa que $e^{iT'}$ no es un operador adecuado, y $|0_1\rangle$ no puede ser un vector normalizable en $\mathcal{H}_2$ . Un argumento similar puede hacerse para cada vector en $\mathcal{H}_1$ ya que un vector arbitrario puede expresarse en términos de operadores de creación aplicados a $|0_1\rangle$ . (o al menos suficientemente aproximado por tales vectores)
Para quien busque más información sobre las implicaciones conceptuales de este problema, recomiendo el artículo de Earman y Fraser (Erkenntnis 64 (2006) 305) que se encuentra aquí http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.476.8781 y las referencias que citan.
En el teorema 3.1 (teorema de Haag para campos libres) de la reciente tesis doctoral se ofrece una exposición, demostración y discusión exhaustivas. http://edoc.hu-berlin.de/dissertationen/klaczynski-lutz-2015-11-06/PDF/klaczynski.pdf por Lutz Klaczynski.
El "espacio de Hilbert diferente" debe considerarse con un grano de sal, ya que todos los espacios de Hilbert separables en dimensiones infinitas son isomorfos. Se trata de espacios de Hilbert con representaciones unitarias no equivalentes del grupo de Poincare, de modo que no existe ningún mapa unitario que respete las reglas de conmutación de Poincare.
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Bienvenido a Physics SE :) Por favor, trate de hacer claramente una pregunta por pregunta y más bien abrir dos preguntas en lugar de mezclar demasiado en un hilo. También, usted podría dar una referencia completa y el contexto del problema y lo que ha intentado hasta ahora.
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@Lubos Motl ¿puedes ayudarme con esto?