Resolver las raíces de un sextil

Question

Estaba resolviendo la ecuación $3(1+x^2+x^3)^2=(2+x)^4$ para $x$ y después de ampliarlo, obtuve $$3x^6+6x^5+2x^4-2x^3-18x^2-32x-13=0\tag{1}$$ que debe ser soluble porque tiene un grupo de Galois de orden $72$ . Pero como es un grado 6, no tengo ningún método para resolver esto.

I tienen intenté factorizarlo en dos cúbicos, pero la condición no se cumplió, así que no puedo factorizarlo. Este polinomio tiene (¿tal vez?) raíces irracionales, así que el teorema de la raíz racional no funcionará.

Answer 1

Desde $3(1+x^2+x^3)^2=(2+x)^4$ podemos mover todos los términos a un lado y utilizar $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ para conseguir \begin{align*} & (\sqrt3(1+x^2+x^3)-(2+x)^2)(\sqrt3(1+x^2+x^3)+(2+x)^2)=0\tag1\\ & (g\sqrt3+(\sqrt3-1)g^2-4g+\sqrt3-4)(g\sqrt3+(\sqrt3+1)g^2+4g+\sqrt3+4)=0\tag2\end{align*} Y resolviendo las raíces de la cúbica se obtienen todos los valores posibles de $g$ .