Continuidad Lipschitz de las medidas sin átomos

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ sea continua de Lipschitz en el primer argumento, es decir, existe $L \in \mathbb{R}_{>0}$ tal que para todo $x,y \in \mathbb{R}^n$ tenemos $\sup_{w \in \mathbb{R}^m} | f(x,w)-f(y,w) | \leq L |x-y|$ .

Dejemos que $m: \mathcal{B}(\mathbb{R}^m) \rightarrow [0,1]$ ser un sin átomos medida de probabilidad. Supongamos que $f$ es medible.

Me pregunto en qué condiciones adicionales se cumple lo siguiente.

Para todos $x,y \in \mathbb{R}^n$ tenemos

$$ \left| m\left( \left\{ w \in \mathbb{R}^m \mid f( x ,w ) > 0 \right\} \right) - m\left( \left\{ w \in \mathbb{R}^m \mid f( y ,w ) > 0 \right\} \right) \right| \leq L |x-y| $$

Answer 1

1. Entiendo la necesidad de la sin átomos suposición, pero no consigue nada cuantitativo (por ejemplo, la continuidad de Lipschitz). Tienes que descartar de alguna manera las medidas absolutamente continuas que se aproximan a una masa puntual.

2. Más concretamente, se necesita un fuerte, cuantitativo suposición que vincula la métrica euclidiana y la medida $m$ . Algo así como Ahlfors $Q$ -regularidad: $c r^Q \le m(B(x,r))\le Cr^Q$ con $c,C,Q$ independiente de $x,r$ .

3. Para tener la continuidad de Lipschitz de los conjuntos de nivel superior en la variable $w$ , se necesita un invertir Condición de Lipschitz con respecto a $w$ . Consideremos el caso especial $f(x,w)=F(w)-x$ y la medida de Lebesgue (en una dimensión, para simplificar). Verás que la continuidad de Lipschitz de $m(\{w:F(w)>x\})$ se mantiene si $|F'|\ge \epsilon>0$ y falla si $F'$ se desvanece en algún lugar, por ejemplo, $F(x)=x^3$ en $[-1,1]$ . En una dimensión superior (siempre para la medida de Lebesgue) se necesita $|\nabla F|\ge \epsilon>0$ .