Problemas para entender la demostración de una variante del teorema de la representación de Riesz

Question

Estoy tratando de entender la demostración de una variante del teorema de la representación de Riesz.

Consideremos un funcional lineal $l$ en el espacio de las funciones continuas sobre $[0,1]$ . Supongamos además que $\ell(f)\ge 0$ cuando $f\ge0$ en $[0,1]$ .

Vamos a definir una función $F(u)$ en $[0,1]$ que se utilizará para construir una medida de Lebesgue-Stieltjes. Definir una colección de funciones auxiliares $f_\epsilon(x,u)$ por lo que son $1$ en $[0,u]$ , $0$ en $[u+\epsilon, 1]$ y se interpola linealmente entre esos dos intervalos. La gráfica de izquierda a derecha de dicha función es una línea horizontal con $y=1$ una línea descendente, y luego una línea horizontal a lo largo de 0.

Definir $$F(u)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\ \ell(f_\epsilon(x,u)).$$

Vemos que $F$ es creciente, y como se muestra en las respuestas, continua hacia la derecha. ¿Por qué tenemos

$$\ell(f)=\int_0^1 f(x)\ dF(x)$$

donde lo anterior es una integral de Lebesgue.

Answer 1

La correcta continuidad de $F$ puede derivarse de la siguiente manera. Si $C = l(\mathbf{1})$ entonces $l(f) \leq C \cdot \max(f)$ para todos los continuos $f$ en $[0,1]$ . En particular, si $f_n$ es una secuencia de funciones no negativas tal que $\max(f_n) \to 0$ entonces $l(f_n) \to 0$ . Utiliza esto en $f_{\varepsilon}(x,u + \varepsilon') - f_{\varepsilon}(x, u)$ para concluir que

$$\lim_{\varepsilon' \downarrow 0}l(f_{\varepsilon}(x, u + \varepsilon')) = l(f_{\varepsilon}(x,u)). $$

Entonces, para todos los $\delta > 0$ existe $\varepsilon, \varepsilon' > 0$ tal que

$$F(u) \leq F(u + \varepsilon') \leq l(f_{\varepsilon}(x, u + \varepsilon')) \leq l(f_{\varepsilon}(x, u)) + \frac{\delta}{2} \leq F(u) + \delta. $$

Answer 2

Si se observan las sumas de Riemann para $\int_0^1 f(x)dF(x)$ son como $$\tag{1} \sum_j f(t_{j+1})\,(F(t_{j+1})-F(t_j))=\; \lim_{\varepsilon\to0}\; l\left(\sum_jf(t_{j+1})(f_\varepsilon(x,t_{j+1})-f_\varepsilon(x,t_j))\right) $$

Si se observa con atención las funciones $x\mapsto \sum_jf(t_{j+1})(f_\varepsilon(x,t_{j+1})-f_\varepsilon(x,t_j))$ se observará que son funciones lineales a trozos que toman los valores $f(t_j)$ en $t_j$ . Así que no es difícil demostrar que si las particiones para sus sumas de Riemann son buenas (digamos, igualmente espaciadas) entonces estas funciones convergen uniformemente a $f$ (recuerda que $f$ es uniformemente continua).