¿Cómo puedo encontrar eficientemente una matriz D tal que la función de coste $||(M-D\cdot N)||$ se minimiza?

Question

Supongamos que $M \in R^{P\,\text{x}\,K}$ , $N \in R^{Q\,\text{x}\,K}$ para que P no tenga que ser necesariamente igual a Q, por lo que $D \in R^{P\,\text{x}\,Q}$

entonces, dadas las matrices N y M, sea $C = M-D\cdot N$ = $\{C_{i,j}\}$

Si la función de coste se define como la norma de $C$ = norma de $(M-D\cdot N)$ = $\sum_{j=1}^{K}(\sum_{i=1}^{P}|c_{i,j}|^{2})^{1/2}$ Entonces, ¿cómo puedo encontrar eficazmente $D$ que minimice dicho coste?

Answer 1

Escríbalo como $$ \|M-DN\|_F^2=\sum_{i=1}^P\|m_i^T-d_i^TN\|_2^2, $$ donde $m_i$ y $d_i$ son los $i$ filas de las matrices $M$ y $D$ respectivamente. Por lo tanto, está claro que esto es equivalente a $P$ problemas lineales independientes de mínimos cuadrados con soluciones dadas por $$ d_i=N^{\dagger T}m_i, $$ donde $N^\dagger$ es el pseudoinverso de Moore-Penrose de $N$ .