Encuentra todos los enteros positivos que satisfacen $a^{b^2}=b^a$ .

Question

Así que la pregunta es :

Determinar todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos que satisfacen $a^{b^2} = b^a$ .

Lo he intentado durante 2 horas por diferentes métodos como llevarlo parejo, impar y por el método del módulo pero no encuentro ninguna solución. Por favor, ayúdenme en esta cuestión.

Answer 1

Sólo sigue tu nariz; deja que $d:=\gcd(a,b)$ para que $a=du$ y $b=dv$ con $u$ y $v$ coprime. Entonces $$b^a=(dv)^{du}=((dv)^u)^d \qquad\text{ and }\qquad a^{b^2}=(du)^{d^2v^2}=((du)^{dv^2})^d,$$ de lo que se deduce que $(dv)^u=(du)^{dv^2}$ . Porque $u$ y $v$ son coprimos tenemos $u=1$ o $v=1$ .

Si $u=1$ entonces $dv=d^{dv^2}$ y así $v=d^{dv^2-1}$ de lo que se deduce rápidamente que también $v=d=1$ y por lo tanto $a=b=1$ .

Si $v=1$ entonces $d^u=(du)^d$ de lo que se deduce que $u^d=d^{u-d}$ y en particular $u\geq d$ . Dejemos que $c:=\gcd(d,u)$ para que $d=ce$ y $u=cw$ con $e$ y $w$ coprima y $w\geq e$ . Entonces $$u^d=(cw)^{ce}=((cw)^e)^c \qquad\text{ and }\qquad d^{u-d}=(ce)^{cw-ce}=((ce)^{w-e})^c,$$ de lo que se deduce que $(cw)^e=(ce)^{w-e}$ . Como $e$ y $w$ son coprimos y $w\geq e$ se deduce que $e=1$ Así que $$cw=c^{w-1},$$ y por lo tanto $w=c^{w-2}$ de lo que se deduce rápidamente que $w\leq4$ . Comprobamos estos pocos casos:

1. Si $w=1$ entonces $c=d=1$ lo que lleva a $a=b=1$ .
2. Si $w=2$ entonces $u=2d$ y por lo tanto $a=2b^2$ y si lo introducimos, se obtiene lo siguiente $$b^{2b^2}=(2b^2)^{b^2}=2^{b^2}b^{2b^2},$$ contradiciendo el hecho de que $b$ es un número entero positivo.
3. Si $w=3$ entonces $c=d=3$ lo que lleva a $a=27$ y $b=3$ .
4. Si $w=4$ entonces $c=d=2$ lo que lleva a $a=16$ y $b=2$ .