¿Se trata de una relación entre la función zeta de Riemann y la función zeta de los Primeros?

Question

En parte me estoy repitiendo aquí de nuevo. ¿Es ésta una relación correcta entre la función zeta de Riemann y la función zeta de los Primeros?

$$ \zeta (s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$$

$\displaystyle \log(\zeta (s)) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n^{s}}$ donde $\displaystyle a_{1} = 0\;$ , $\displaystyle a_{n} = \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}$ y $\Lambda(n)$ es la función Mangoldt definida por $\displaystyle \Lambda(n) = \log(p)$ si $n = p^{k}$ para $p$ un primo.

$\displaystyle _{1}(\log(\zeta (s))) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\log(a_{n})}{n^{s}},$ donde $_{1}(\;)$ es una operación y $\displaystyle \log(a_n) = 0$ si $a_n = 0$ $$_{1}(\log(\zeta (s)))\zeta (s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{n^{s}}$$

$\displaystyle _{2}(_{1}(\log(\zeta (s)))\zeta (s)) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{b_{n}}}{n^{s}}\;$ donde $_{2}(\;)$ es otra operación y $\displaystyle e^{b_{n}}=\exp(b_{n})$

$$\sum\limits_{p\;\text{prime}} \frac1{p^s} = \log(_2(_1(\log(\zeta (s)))\zeta (s)))$$

Answer 1

En el caso $s=2$ tenemos $$\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p^2}\color{red}{\leq} \frac{1}{2}\sum_{p\in\mathcal{P}}\log\,\left(\frac{1+\frac{1}{p^2}}{1-\frac{1}{p^2}}\right)=\frac{1}{2}\log\frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)}=\log\sqrt{\frac{5}{2}}=0.458145365937\ldots $$ y es una aproximación bastante buena ya que $\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\ldots $ en una zona cercana al origen. En general, por Fórmula de inversión de Moebius

$$ \sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p^s}=\sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n}\log\zeta(ns)\tag{1} $$ que es una serie con una velocidad de convergencia decente, debido a $\log\zeta(ns)\approx 2^{-ns}$ para cualquier gran $n$ .

Answer 2

Una variante de la relación puede ponerse así en Mathematica:

s = 7;
nn = 1000;
N[Log[Sum[
   1/(Exp[FullSimplify[
        Sum[If[n/k == 1, Log[1], 
          If[Mod[n, k] == 0, 
           Log[Denominator[
             FullSimplify[MangoldtLambda[n/k]/Log[n/k]]]], 0]], {k, 1,
           n}]]]*n^s), {n, 1, nn}]], 12]
N[PrimeZetaP[s], 12]

que produce dos números iguales:

0.00828383285613

0.00828383285613

La falsificación o el tweek es el uso de Denominator[ que junto con MangoldtLambda[n]/Log[n] debería poder sustituirse por algo en términos de la función PrimeZeta y de la función zeta de Riemann, que es un poco circular.

La misma relación que un producto sobre los divisores en lugar de una suma:

s = 7;
nn = 1000;
N[Log[Sum[
   1/(FullSimplify[
       Product[If[n/k == 1, 1, 
         If[Mod[n, k] == 0, 
          Denominator[FullSimplify[MangoldtLambda[n/k]/Log[n/k]]], 
          1]], {k, 1, n}]]*n^s), {n, 1, nn}]], 12]
N[PrimeZetaP[s], 12]

0.00828383285613

0.00828383285613

La función generadora de Dirichlet es:

(*start*)
s = 7;
nn = 1000;
N[1 + Sum[
   Denominator[FullSimplify[MangoldtLambda[n]/Log[n]]]/n^s, {n, 2, 
    nn}], 12]
N[Zeta[s] + Sum[n*PrimeZetaP[(n + 1)*s], {n, 1, 20}], 12]
(*end*)

$$1+\sum _{n=2}^{\infty } \frac{\text{Denominator}\left[\text{FullSimplify}\left[\frac{\Lambda (n)}{\log (n)}\right]\right]}{n^s}=\zeta (s)+\sum _{n=1}^{\infty } n P((n+1) s)$$