Equivalencia de las definiciones de masa ADM

Question

La masa ADM es una medida útil de un sistema. A menudo se define (Wald 293)

$$M_{ADM}=\frac{1}{16\pi} \lim_{r \to \infty} \oint_{s_r} (h_{\mu\nu,\mu}-h_{\mu\mu,\nu})N^{\nu} dA$$

Dónde $s_r$ es dos esferas con un radio que va al infinito.

Sin embargo, también he visto la siguiente definición (EDIT: por ejemplo, la página 147 de "A Relativists Toolkit"):

$$M_{ADM} = - \frac{1}{8\pi} \lim_{r \to \infty} \oint_{s_r}(H-H_0)\sqrt{\sigma}d^2\theta$$

Dónde $H_0$ es la curvatura extrínseca de $s_r$ incrustado en el espacio plano y $H$ es la curvatura extrínseca de $s_t$ incrustado en una hipersuperficie del espaciotiempo.

No me queda muy claro cómo se relacionan estas dos cosas. Obviamente podemos obtener el mismo diferencial con la siguiente definición.

$$dA=\sqrt{\sigma}d^2\theta$$

Pero además no parece claro por qué esas curvaturas extrínsecas deben ser iguales a esas derivadas métricas (por el término constante de $-1/2$ ). Es de suponer que el hecho de llevar el límite a $r \to \infty$ es importante ya que estamos asumiendo que la métrica debe ser asintóticamente plana (o al menos asintóticamente constante) y estas cantidades podrían reducirse a alguna forma similar en el límite.

¿Alguna idea?

Answer 1

En primer lugar, vamos a intentar limpiar un poco la expresión MTW deshaciéndonos de la variante de coordenadas manifiesta, introduciendo una contracción propia, una integral propia sobre la superficie en el infinito y la normal unitaria $r^{a}$ a la superficie en el infinito:

$$M_{ADM}={16\pi}\oint\sqrt{\gamma}\,\,d^{2}x \gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\gamma_{ab,c}\right)$$

Sin embargo, esto sólo es válido, no sólo para en espacios asintóticamente planos, sino realmente sólo para espacios asintóticamente Cartesiano coordenadas. Puedes comprobarlo calculando la ``Masa ADM'' de la métrica 3 plana en coordenadas polares:

$\begin{align*} 16\pi M_{ADM}&=\lim_{r\rightarrow\infty}\oint r^{2}\sin\theta \gamma^{ab}\left(\gamma_{ra,b}-\gamma_{ab,r}\right)d\theta d\phi\\ &=\lim_{r\rightarrow\infty}4\pi r^{2}\left(\gamma^{rr}\gamma_{rr,r}-\gamma^{ab}\gamma_{ab,r}\right)\\ &=\lim_{r\rightarrow\infty}4\pi r^{2}\left(0-\frac{4}{r}\right)\\ &=-\infty \end{align*}$

Obviamente, esto es incorrecto, y sólo un artefacto de la forma en que las coordenadas esféricas se comportan en el infinito. Para solucionarlo, tenemos que restar siempre la divergencia de la masa ADM del espaciotiempo plano a la masa ADM del sistema de coordenadas en cuestión. Entonces, ese es el origen de la $H$ y $H_{0}$ términos. El $H$ es la curvatura extrínseca del espacio en cuestión, mientras que $H_{0}$ es la curvatura extrínseca del espaciotiempo plano. Ahora, sólo es cuestión de demostrar que la expresión dentro de la integral es igual a $H$ .

Normalmente, defino la curvatura extrínseca como $\gamma^{ab}\nabla_{a}r_{b}$ . Así que, vamos a la aventura:

$\begin{align*} H&=\gamma^{ab}\nabla_{a}r_{b}\\ &=\gamma^{ab}\left(\partial_{a}r_{b}-\Gamma_{ab}{}^{c}r_{c}\right)\\ &=\gamma^{ab}\partial_{a}r_{b}-\frac{1}{2}\gamma^{ab}\gamma^{cd}\left(2\gamma_{ad,b}-\gamma_{ab,d}\right)r_{c}\\ &=\gamma^{ab}\partial_{a}\left(\gamma_{bc}r^{c}\right)-\gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\frac{1}{2}\gamma_{ab,c}\right)\\ &=\delta^{a}{}_{c}\partial_{a}r^{c} + \gamma^{ab}r^{c}\gamma_{bc,a}-\gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\frac{1}{2}\gamma_{ab,c}\right)\\ &=\partial_{a}r^{a}+\frac{1}{2}\gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\gamma_{ab,c}\right) \end{align*}$

Ahora, observamos que en cualquier sistema de coodinación adaptado para que la coordenada $r=constant$ que determina la superficie se elige para una de las coordenadas, tenemos, necesariamente $r^{a}=(1,0,0)$ observamos que $\partial_{a}r^{a}=0$ por lo que concluimos que las dos expresiones para la masa ADM son equivalentes.

Answer 2

Su segunda expresión, cuando la integral no se toma en el infinito, suele conocerse como masa Brown-York o Hawking-Horowitz (cuasilocal). Está estrechamente relacionada con la Masa Liu-Yau . Para una esfera de radio finito, no es igual a la integral ADM en general.

En el papel original de Brown y York En el caso de la masa cuasilocal, afirmaron pero no proporcionaron (hasta donde yo sé) una prueba detallada del comportamiento asintótico de la masa cuasilocal. Pero si se considera un espacio-tiempo asintóticamente plano y se toman coordenadas euclidianas asintóticas, un cálculo directo debería mostrar que la $K_0\to 0$ como una esfera va al "infinito" (ya que las esferas de coordenadas en el espacio euclidiano tienen una curvatura media que decae a 0 a medida que aumenta el radio), y las condiciones de decaimiento en la métrica y la segunda forma fundamental de la rebanada espacial deberían garantizar que la diferencia entre $K$ y la expresión de la derivada de coordenadas tiende a cero. (Recordemos que la curvatura media del espacio-tiempo puede calcularse a partir de la curvatura media de la rebanada espacial incrustada en el espacio-tiempo junto con la curvatura media de las dos esferas incrustadas en la rebanada espacial).

También se realizaron cálculos similares por parte de Brewin .

La convergencia de la masa de Brown-York a la masa de ADM también se recupera en este documento de Miao, Shi y Tam .