¿Es correcto definir $\operatorname{cl}(\Omega) := \Omega \cup\partial \Omega$ ?

Question

En mi clase de geometría diferencial el profesor escribió $$\operatorname{cl}(\Omega) := \Omega \cup\partial \Omega, \tag{1}$$ donde $\operatorname{cl}$ es el cierre. De la Topología recuerdo que era $$\operatorname{cl}(\Omega) := \operatorname{Int}(\Omega) \cup \partial \Omega \tag{2},$$ donde $\operatorname{Int}$ es Interior.

Es $(1)$ ¿también es correcto? Si no lo es, ¿qué falta en esa unión? Siento que los puntos aislados pueden no ser tomados en consideración en $(1)$ .

Además, dijo que históricamente el $\partial \Omega$ La notación proviene del concepto topológico de conjunto derivado. Pero no creo que el límite sea lo mismo que el conjunto derivado, ¿verdad?

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Editar: Estoy intentando una prueba, tomando $(2)$ como definición:

$$\operatorname{Int}(\Omega) \subseteq \Omega \implies \operatorname{Int}(\Omega) \cup\partial\Omega \subseteq \Omega\cup \partial\Omega $$

$$\implies \operatorname{cl}(\Omega) \subseteq\Omega\cup \partial\Omega $$

Pero no sé cómo probar la inclusión contraria, ¿alguna idea?

Answer 1

Es lo mismo. Si necesita $\Omega$ sea un conjunto abierto (o se utiliza $\operatorname{Int}(\Omega)$ en lugar de eso) sólo se obtiene una unión disjunta, pero la misma igualdad se mantiene de todos modos: $$ \operatorname{cl}(\Omega) = \operatorname{Int}(\Omega)\,\sqcup\,\partial\Omega$$

El conjunto derivado (el conjunto de todos los limitar los puntos ) es un concepto similar al de cierre, pero no el mismo: el conjunto derivado de $\Omega$ no toma aislado puntos en cuenta. De hecho, el cierre de cualquier conjunto $\Omega$ en un espacio topológico es la unión disjunta de puntos límite Y puntos aislados: $$ \operatorname{cl}(\Omega)=\operatorname{der}(\Omega)\,\sqcup\,\operatorname{Is(\Omega)}$$ Obsérvese que todos los puntos aislados acaban formando parte de la frontera $\partial\Omega$ . En general, tienes: $$ \operatorname{Int}(\Omega)\subseteq \operatorname{der}(\Omega) \subseteq \operatorname{cl}(\Omega) $$ $$ \operatorname{Is(\Omega)} \subseteq \partial\Omega \subseteq \operatorname{cl}(\Omega) $$

La diferencia entre $\Omega$ y $\operatorname{Int}(\Omega)$ no tiene que ver necesariamente con puntos aislados.
Toma $\Omega=[0,1)\subset\mathbb R$ como ejemplo; $\Omega$ (y su cierre, $[0,1]$ ) no tienen puntos aislados, y aún así $\Omega\smallsetminus\operatorname{Int}(\Omega)\neq\varnothing$ . Se puede "descomponer" $\operatorname{cl}(\Omega)$ como $\operatorname{Int}\sqcup\partial=(0,1)\sqcup\,\{0,1\}$ y estos son todo puntos límite.

Puede probar a experimentar con $\Omega=[0,1)\cup\{2\}$ para comprender mejor lo que ocurre con el cierre y los límites cuando se incluyen puntos aislados.

Answer 2

Propuesta

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico, y que $E$ sea un subconjunto de $X$ y que $x_{0}$ sea un punto de $X$ . Entonces las siguientes afirmaciones son lógicamente equivalentes

(a) $x_{0}$ es un punto de adherencia de $E$ .

(b) $x_{0}$ es un punto interior o un punto límite de $E$ .

(c) Existe una secuencia $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ en $E$ que converge a $x_{0}$ con respecto a $d$ .

Prueba

Empecemos por la implicación $(a)\Rightarrow(c)$ .

Si $x_{0}$ es un punto de adherencia de $E$ , entonces para cada $n > 0$ corresponde un $x_{n}\in B(x_{0},1/n)\cap E$ .

Por lo tanto, dado que $d(x_{n},x_{0}) \leq 1/n$ el teorema del sándwich nos asegura que $E\ni x_{n}\to x_{0}$ y hemos terminado.

Ahora, vamos a probar la implicación $(c)\Rightarrow(b)$ .

Para ello, vamos a suponer que $(c)$ es verdadera y $(b)$ es falso.

Desde $x_{0}$ es un punto exterior de $E$ existe un $\varepsilon_{0} > 0$ tal que $B(x_{0},\varepsilon_{0})\cap E = \varnothing$ .

Por otra parte, dado que $x_{n}\in E$ converge a $x_{0}$ para el mismo valor $\varepsilon_{0} > 0$ hay un $n_{\varepsilon_{0}}\in\mathbb{N}$ s.t. \begin{align*} n\geq n_{\varepsilon_{0}} \Rightarrow d(x_{n},x_{0}) \leq \varepsilon_{0} \Rightarrow x_{n}\in B(x_{0},\varepsilon_{0})\cap E \end{align*} lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, $(c)$ implica $(b)$ .

Por último, vamos a demostrar la implicación $(b)\Rightarrow(a)$ .

Si $x_{0}$ es un punto interior de $E$ entonces existe una bola abierta $x_{0}\in B(x_{0},r)\subseteq E$ .

En consecuencia, $x_{0}$ es un punto de adherencia de $E$ .

En efecto, para todo número positivo $r > 0$ , uno tiene que $x_{0}\in B(x_{0},r)\cap E$ .

Por otro lado, si $x_{0}$ es un punto límite de $E$ entonces no es ni un punto interior ni un punto exterior.

Esto significa que cada balón abierto $B(x_{0},r)$ no está contenida en $E$ ni $E^{c}$ .

Más concretamente, cada balón abierto $B(x_{0},r)$ se cruza con $E$ y $E^{c}$ .

Por lo tanto, concluimos que $x_{0}$ es un punto de adherencia de $E$ y hemos terminado.

Solución

Desde $\overline{\Omega}\supseteq\Omega$ y $\Omega\supseteq\text{int}(\Omega)$ podemos concluir, basándonos en el resultado anterior, que \begin{align*} \overline{\Omega} = \overline{\Omega}\cup\Omega &= \bigl(\text{int}(\Omega)\cup\partial\Omega\bigr)\cup\Omega =\\ &=\bigl(\text{int}(\Omega)\cup\Omega\bigr)\cup\partial\Omega =\\ &=\Omega\cup\partial\Omega \end{align*} y hemos terminado.

Espero que esto ayude.