Cuadráticos: Relación intuitiva entre el discriminante y la derivada en las raíces

Question

Mientras trabajaba con cuadráticas que tienen raíces reales, me di cuenta de un hecho interesante:

La pendiente de una cuadrática en sus raíces es igual a $\pm \sqrt{D}$ donde $D=b^2-4ac$

Prueba:

$$f(x) = ax^2 + bx +c$$

$$f'(x) = 2ax+b$$

Raíces:

$$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Por lo tanto, si tratamos de encontrar la pendiente en cualquier raíz ( $r$ ):

$$f’(r) = \pm \sqrt D$$

donde el signo ( $\pm$ ) se puede determinar si la raíz está a la derecha del vértice o a la izquierda.

Si la cuadrática sólo tiene $1$ raíz (o $2$ raíces que son iguales) entonces significa que la cuadrática está en un punto estacionario por lo que la pendiente debe ser $0$ . Esto está respaldado por el hecho de que las cuadráticas sólo tienen 1 raíz distinta cuando $b^2 - 4ac = 0$ .

¿Qué enfoque geométrico/intuitivo puede aplicarse para explicar este interesante fenómeno?

Answer 1

No veo que haya ninguna interpretación especial relacionada con la geometría.

Sólo discutiremos el caso de que $D \gt 0$ tal que $\alpha$ y $\beta$ son las dos raíces reales con $\alpha \lt \beta$ .

Para simplificar, también dejamos de lado el $\pm$ signo.

$\sqrt D = \dfrac aa \sqrt D$

$ = a\sqrt {(\dfrac {-b}{a})^2 – \dfrac {4c}{a}}$

$= a \sqrt {(\beta + \alpha)^2 – 4\alpha\beta}$

$= a \sqrt {(\beta - \alpha)^2}$

$= a \times (\beta - \alpha)$

En este punto, sólo podemos decir que $f’(r)$ es sólo a veces la longitud de la diferencia de los dos intersticios de x cortados por la función cuadrática.