Descomposición tensorial

Question

Me encontré con lo que un Físico llamó "descomponer un tensor con respecto a una congruencia", algo que simplemente no puedo entender. He buscado mucho y no he encontrado ninguna referencia al respecto. Sé que "congruencia" es el nombre que utilizan los físicos para referirse a las líneas integrales de un campo vectorial sobre una variedad, pero no tengo ni idea de lo que significa descomponer algo con respecto a ellas.

Sólo como curiosidad, la "descomposición" del tensor electromagnético "con respecto a la congruencia de observadores $V^\mu$ ", signifique lo que signifique, es

$$F^{\mu \nu} = \frac{1}{c} \left( E^{[\mu}V^{\nu]} - \eta^{\mu \nu}_{\;\;\alpha \beta} B^\alpha V^\beta \right) ,$$

donde $E^\mu V_\mu = B^\mu V_\mu = 0$ y no se dijo nada sobre $\eta$ así que en realidad no sé lo que es.

La respuesta no necesita explicar por qué $F$ se descompone realmente de esta manera. Basta con alguna referencia sobre el tema y una explicación de lo que es.

P.D. : Esto se dijo en una clase de Relatividad General, por eso lo etiqueto como GR.

Answer 1

En lo siguiente, $(\mathcal{M},g,\epsilon)$ es una variedad orientada de Lorentz $\mathcal{M}$ con el tensor métrico $g_{ab}$ y la forma de volumen $\epsilon=\sqrt{-\det g}\,\mathrm{d}x^0\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^3$ .

Teorema. Dado un tensor antisimétrico $A_{ab}$ y un vector temporal unitario $u^a$ existen vectores únicos $q^a,b^a$ tal que $$A_{ab}=u_aq_b-q_au_b+\epsilon_{abcd}u^cb^d$$ donde $\epsilon$ es la forma de volumen canónica en la variedad con las condiciones de que $q_au^a=b_au^a=0$ .

Prueba. Lo demostraremos en un punto $p\in\mathcal{M}$ utilizando las coordenadas normales de Riemann. El resultado puede extenderse puntualmente a todo el espaciotiempo.

Hemos establecido $q_a:=A_{ab}u^b$ y por antisimetría de $A_{ab}$ está claro que $q_au^a=0$ . A continuación, defina $$B_{ab}:=A_{ab}-u_aq_b+q_au_b.$$ Tenga en cuenta que $B_{ab}u^b=0$ . Sea $u^a,X^a,Y^a,Z^a$ sea una base ortonormal en $T_p\mathcal{M}$ . Definamos en $p$ los tres números $$b^1:=B_{ab}Y^aZ^b,b^2:=B_{ab}Z^aX^b,b^3:=B_{ab}X^aY^b$$ e introducir el vector $$b^a:=b^1X^a+b^2Y^a+b^3Z^a$$ en el subespacio de $T_p\mathcal{M}$ ortogonal a $u^a$ (a partir de ahora conocido como $T'_p\mathcal{M}$ ). Es evidente que $u_ab^a=0$ . Para dos vectores $v^a,w^a\in T'_p\mathcal{M}$ se puede comprobar que $B_{ab}v^aw^b$ es el triple producto escalar de los vectores $v^a,w^a,b^a$ en las tres dimensiones $T'_p\mathcal{M}$ si se asume una métrica euclidiana ( $\vec v\cdot(\vec w\times \vec b)$ con los productos punto y cruz estándar en $\mathbb{R}^3$ ). Esto es posible si se trabaja en coordenadas normales de Riemann. Así tenemos un tensor antisimétrico $e_{abc}$ para lo cual $B_{ab}v^aw^b=e_{abc}b^av^bw^c$ . Utilizando nuestra base y las coordenadas normales de Riemann, es fácil comprobar que $e_{abc}=u^d\epsilon_{dabc}$ (porque $u^\mu=(-1,0,0,0)$ y $g_{\mu\nu}\lvert_p=\eta_{\mu\nu}$ ). Entonces tenemos $$B_{ab}v^aw^b=\epsilon_{abcd}u^ab^bv^cw^d=(A_{ab}-u_aq_b+q_au_b)v^aw^b.$$ La singularidad de $q^a$ se deduce del cálculo de $A_{ab}v^au^b=q_av^a$ para algunos $v^a\in T_p\mathcal{M}$ y nada que el producto interior sea no degenerado. La unicidad de $b^a$ se deduce de la no degeneración de la forma de volumen en $T'_p\mathcal{M}$ . $\quad\Box$

La afirmación de la OP sigue identificando $E^a=-\tfrac{1}{2}q^a$ y $B^a=b^a$ .