Hallar la variación de la aceleración angular en el tiempo al desenrollar un rollo de cinta con una velocidad constante

Question

Estoy tratando de encontrar una expresión para el cambio en la velocidad de rotación en el tiempo cuando un rollo de cinta se desenrolla a una velocidad constante. Empecé con la fórmula: $$w= \frac{v}{2\pi r}$$ donde $w$ son las rotaciones por segundos y $v$ es la velocidad tangencial (en mi caso es constante a 0,5 m/s). $r$ comienza en 36,8 mm y termina en 12,7 mm (cuando la cinta está totalmente desenrollada).

Los parámetros conocidos:
Espesor de la cinta: $k = 0.0625 mm$
Velocidad tangencial: $v = 0.5 m/s$
Radio inicial: $r_{start} = 36.8 mm$
El radio final: $r_{final} = 12.7 mm$

He intentado lo siguiente pero me he quedado atascado porque no sé cómo resolver la ecuación resultante:

$w(r)= \frac{v}{2\pi r}$
$r(t) = r_{start} - k \cdot w(t) \cdot t$
$w(t) = \frac{v}{2\pi \cdot r(t)}$

$$\frac{dw}{dt}=\frac{dw}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$$

$$\frac{dw}{dr} = \frac{v}{2\pi}\cdot \ln(r) + c $$

$$\frac{dr}{dt} = -k\cdot \left(\frac{dw}{dt} + w(t)\right)$$ $$\frac{dw}{dt} = -k\cdot \left(\frac{dw}{dt} + w(t)\right) \cdot \frac{dw}{dr}$$

Esto es lo más lejos que llegué antes de darme cuenta de que esto está mucho más allá de mi capacidad y conocimiento, aprecio cualquier ayuda que obtenga y agradezco profundamente a cualquiera que tome este esfuerzo.

Answer 1

Cuando tomaste $\frac {dw}{dr}$ integraste en lugar de diferenciar. Debería ser $\frac {dw}{dr}= \frac {-v}{2\pi r^2}$ Para calcular $r$ es más útil considerar $r(L)$ , donde $L$ es la longitud de la cinta en milímetros en el rollo. Cuando aumentamos $L$ por $2 \pi r(L)$ aumentamos $r$ por $0.0625$ , por lo que tenemos $\frac {dr}{dL} =\frac {0.0625}{2 \pi r}$ que podemos resolver para obtener $\pi r^2=0.0625L+c$ . En $L=0, r=12.7$ Así que $c=\frac {12.7}{\pi}$ y $r=\sqrt{\frac {0.0625}{\pi}L+\frac {12.7}{\pi}}$ Entonces $\frac {dr}{dt}=\frac {dr}{dL}\frac {dL}{dt}=\frac {dr}{dL}(500 mm/sec)$