Encontrar puntos integrales en curvas elípticas

Question

Bueno, estoy tratando de encontrar los cuadrados perfectos en el siguiente número:

$$57132x^3+2484x^2-54648x+40401\tag1$$

Ahora, cuando $(1)$ tiene que ser un cuadrado perfecto que podamos escribir:

$$\text{n}^2=57132x^3+2484x^2-54648x+40401\tag2$$

Dónde $\text{n}\in\mathbb{Z}$ .

Me gustaría utilizar SageMathCell para encontrar los puntos integrales a la ecuación $(2)$ para algunos valores de $\text{n}$ y $x$ .

Así que busqué en internet y encontré que puedo usar el siguiente código:

E = EllipticCurve([0, , 0, , ])
P = E.integral_points()
for p in P:
    if p[0] %  == 0:
        print(p[0] // , p[1] // )

Dónde $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ y $\delta$ son constantes que se pueden encontrar utilizando la información dada por SageMathCell usando este documentación.

Estuve revisando la información y utilicé el siguiente código:

E = EllipticCurve([0, 2484, 0, -3122149536, 131871507195024])
P = E.integral_points()
for p in P:
    if p[0] % 57132 == 0:
        print(p[0] // 57132, p[1] // 57132)

Y debería encontrar que $x=1585$ es una solución. Pero no he encontrado ninguna solución.

¿He hecho algo mal pero no puedo encontrar donde me equivoco?

Answer 1

$y^2=57132x^3+2484x^2-54648x+40401 \implies \\(2116 y)^2 = (6348 x)^3 + 276 (6348 x)^2 - 38545056 (6348 x) + 180893699856$

Magma código:

S:= IntegralPoints(EllipticCurve([0,276,0,-38545056,180893699856]));
for s in S do
q:= s[1]/6348;
if q eq Floor(q) then
print "(",q,", ",s[2]/2116,")";
end if;
end for;