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Derivación de la serie de Taylor para $e^x$ mediante la integración

Estoy jugando con el uso de técnicas elementales para derivar la serie de Taylor para $e^x$ .

Consideremos la secuencia de integrales $$I_n = \int_0^x t^n e^{-t} dt$$ Se puede demostrar por inducción que $$I_n = n! \left ( 1-\frac{1}{e^x}\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}\right)$$

Quiero entonces considerar la posibilidad de tomar $n\to \infty$ para establecer la Serie Taylor. Esto, por supuesto, se basa en $$\lim_{n\to\infty} \frac{I_n(x)}{n!}=0$$ que no parece fácil de mostrar para todos $x$ .

Cualquier idea sería fantástica. Espero que haya algo elemental para usar aquí.

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Una forma más fácil sería simplemente considerar $D(e^t) = e^t$ y ver lo que hace a la serie de potencia coeficiente por coeficiente y probablemente necesite condición de contorno que $e^0=1$ para hacer rodar las fichas de dominó.

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Puede que quieras echar un vistazo a la función Gamma, utilizando $\int_0^\infty t^n\exp(-t)dt=\Gamma(n+1)=n!$

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Método curioso. Para $x$ positivo $e^{-t}\leq 1$ y se obtiene una muy buena estimación. Para $x$ negativo, por otro lado, su método no da buenas estimaciones de error (y dividiendo por $e^x$ probablemente no sea una buena idea en ese caso).

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Ninad Munshi Puntos 801

Para terminar tu prueba, toma la integral original y limítala así

$$\left|\frac{I_n}{n!}\right | = \left| \int_0^x \frac{t^n}{n!}e^{-t}\:dt\right | \leq \frac{|x|^{n+1}}{n!} \to 0$$

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¿Cómo has conseguido la última desigualdad?

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@AnInvisibleCarrot $$\int_a^b f(x)\:dx \leq \sup_{x\in[a,b]} f(x) \cdot (b-a)$$

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Así que no $|\frac{I_n}{n!}| \leq \frac{ |x|^{n+1} }{n!} \times \max \{ 1 , e^{-x} \} \leq \frac{ |x|^{n+1} e^{|x|}}{n!}$ . Sin embargo, su lógica se ajusta a lo que tengo que hacer, ¡gracias!

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