Ensayos hipergeométricos - Número de ensayos necesarios para lograr una probabilidad dada

Question

Dado un número conocido de bolas blancas y negras en una urna, ¿cuántos ensayos sin reemplazo se requieren para lograr una probabilidad x dada de extraer al menos una bola blanca?

¿Qué función me da este número de ensayos?

Muchas gracias

Answer 1

La pregunta trata sobre una distribución hipergeométrica. En R, la probabilidad de obtener ninguna bola blanca en una urna con $w$ bolas blancas y $b$ bolas negras después de $k$ extracciones es

phyper(0, w, b, k)

Necesitamos encontrar el entero no negativo más pequeño $k$ para el cual este número es menor o igual que $\alpha = 1-x$. (P. ej. si $x$ es 95%, $\alpha$ es $0.05$). La mayoría de los métodos estándar de búsqueda de raíces funcionarán, pero (a menos que la urna tenga un gran número de bolas), una búsqueda de fuerza bruta será razonable:

g <- function(alpha,w,b) { # 0 < alpha < 1; 1 <= w + b; 0 <= w, b
    p <- phyper(0,w,b,1:(w+b))
    k <- min(which(p<=alpha))
    list(count=k, probs=phyper(0,w,b,(k-1):k))
}

Esta versión de la solución devuelve dos cosas: la respuesta $k$ (como "\$count") y una verificación de la respuesta (como "\$probs") en forma de la probabilidad hipergeométrica para $k-1$ (que debería ser estrictamente mayor que $\alpha$) y la probabilidad para $k$ (que debería ser menor o igual que $\alpha").

Ejemplo:

> set.seed(17)
> table(replicate(10000, sum(sample(c(rep(1,3), rep(0,10)), 8))))
   0    1    2    3 
 355 2815 4844 1986 

En esta simulación con 10,000 ensayos independientes, se extrajeron 8 bolas sin reemplazo de una urna con 3 bolas blancas y 10 bolas negras. En 355 (3.55%) de esos ensayos, no se extrajo ninguna bola blanca. ¿Qué sugiere nuestro cálculo anterior?

> g(0.05, 3, 10)  
$count
[1] 8

$probs
[1] 0.06993007 0.03496503

Indica que, de hecho, necesitamos retirar 8 bolas para tener al menos $x = 1-\alpha = 95\%$ de probabilidad de obtener una bola blanca, y que la probabilidad es del 100 - 3.4965% de hacerlo (que es al menos $x$; mientras que la probabilidad cuando solo se extraen 7 bolas es solo del 100 - 6.993%, que es menor que $x$). Esto está en estrecho acuerdo con el valor simulado.