¿Qué significa que la distribución normal estándar es invariable bajo una transformación ortogonal?

Question

¿Qué significa que la distribución normal estándar es invariable bajo una transformación ortogonal?

Este es el contexto en el que encontré esa afirmación: considere $H\subseteq \mathbb{\mathbb{R}^l}$ a $k$ -subespacio lineal de $\mathbb{R}^l$ . Dejemos que $(v_1,...,v_l)$ sea una base ortonormal de $\mathbb{R}^l$ cuya primera $k$ elementos span $H$ . Consideremos una variable aleatoria $Z$ tomando valores en $\mathbb{R}^l$ tal que $Z\sim N(0,I_l)$ donde $I_l$ es la matriz de identidad. Sea $\tilde{Z}:=(\tilde{Z_1} \text{ }... \tilde{Z_l})^T$ sea el vector de coordenadas de $Z$ con respecto a la base $(v_1,...,v_l)$ . Entonces, $\tilde{Z}_i\sim N(0,1)$ para $i=1,...,l$ porque la distribución normal estándar es invariante bajo transformación ortogonal.

Answer 1

Esto significa que si $Z\sim \mathcal{N}(0,I_l)$ y si $P$ es una matriz ortogonal, entonces $PZ\sim\mathcal{N}(0,I_l)$ .

Aquí $P$ es el cambio de matriz base de la base original a la base $(v_1,\dots,v_l)$ . Tenemos $Z=P\tilde{Z}$ y $P$ es una matriz ortogonal porque $(v_1,\dots,v_n)$ es ortonormal. Así, $\tilde{Z}=P^{-1}Z=P^tZ\sim\mathcal{N}(0,I_l)$ porque por supuesto $P^t$ también es ortogonal.