Determinar el orden del polo para la función dada.

Question

Estoy tratando de entender los ceros y los polos en el análisis complejo. Podría explicar en detalle cómo puedo determinar el orden del polo para la función dada.

$$f(z) = \frac{1}{1+e^z}$$

Answer 1

Supongamos que $1+e^{z}=0$ en algunos $z_0$ . El orden del cero es el orden del polo de $1/(1+e^{z})$ que se determina por el número de primeros términos de las siguientes expansiones en serie que desaparecen: $$ 1+e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left.\left[\frac{d^n}{dz^n}(1+e^z)\right]\right|_{z=z_0}(z-z_0)^n $$ En este caso, es fácil ver que sólo el primer término desaparece porque, si $e^{z_0}+1=0$ entonces $\frac{d}{dz}(e^{z}+1)=e^{z}$ es $-1$ en $z_0$ . Así que todos los ceros de $1+e^z$ son simples, lo que significa que todos los polos de $1/(1+e^z)$ son simples.