Demostrando que $\frac{X_n -n}{\sqrt{X_n}}\to N(0,1)$ en la distribución donde $X_n\sim \operatorname{Gamma}(n,1)$

Question

Se nos da que $X_n\sim \operatorname{Gamma}(n,1)$ y queremos demostrar que $Y_n \rightarrow N(0,1)$ en la distribución donde $Y_n=\frac{X_n -n}{\sqrt{X_n}}$

Un poco atascado en este caso.

Utilizando la Ley Débil de los Grandes Números, sabemos que $X_n$ converge en su distribución a $E(X_n) = n$ .

Podemos entonces utilizar la desigualdad de Chebyshev para demostrar que $\bar{X_n}$ converge en su distribución a $1$

$$P(|X_n - n| c) = P(|\bar{X_n} - 1| c) \frac{\operatorname{Var}(\bar{X_n})}{c^2} = \frac{\operatorname{Var}(X_n)}{n^2c^2} = \frac{n}{n^2c^2} = \frac{1}{nc^2}$$

Como esto va a $0$ como $n \rightarrow \infty$ , $X_n$ converge a $1$ en la distribución. Podemos continuar y decir $\sqrt{X_n}$ converge a $1$ en la distribución desde $1$ es continua allí.

A partir de aquí estoy atascado, lo que me llevará a la respuesta final, Ya que el denominador converge a $1$ sólo tenemos que demostrar que el numerador converge a $N(0,1)$ por el Teorema de Slutsky, sólo que estoy un poco perdido en cómo llegar.

Answer 1

Dejemos que $(W_n)_n$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas siguiendo una distribución exponencial $\mathcal{E}(1),$ dejar $S_n=\sum_{k=1}^nW_k.$

Observe que $Y_n=\sqrt{\frac{n}{X_n}}\frac{X_n-n}{\sqrt{n}},$ y que $S_n$ sigue una distribución gamma $Gamma(n,1),$ utilizando el teorema del límite central y la ley fuerte de los grandes números, obtenemos que $\sqrt{\frac{n}{S_n}}$ converge en su distribución a $1$ y que $\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$ converge en la distribuciónt a $N(0,1),$ concluir utilizando el lema de Slutsky.