Falso tarea de la prueba?: La imagen de un elemento tiene el mismo orden.

Question

Tengo esta asignación de una tarea que estoy bastante seguro de que está mal. Me pide probar

Dado un grupo homomorphism $\phi: G\rightarrow G'$ si $g\in G$ orden $k$, también lo $\phi(g)$.

Yo creo que esto es intuitivamente falso con un fácil contra-ejemplo: El trivial homomorphism $\phi(x)=1$ todos los $x\in G$. Intuitivamente, se necesita un isomorfismo para el orden de un elemento que se conserva, la derecha?

Answer 1

Eso es correcto, y que una correcta contraejemplo. Las dos cosas que usted puede probar que son lo que usted dijo (es verdad si $\phi$ es un isomorfismo), o con la condición dada, el orden de $\phi(g)$ debe dividir $k$.

Answer 2

De inyectividad es una condición necesaria y suficiente para la cuestión de la declaración de retención, lo que podemos ver de la siguiente manera. Si $\phi$ es inyectiva entonces la orden de $g$ es igual a la orden de $\phi(g)$ porque $g^n = e_G \Leftrightarrow \phi(g)^n = e_{G'}$ por lo que el mínimo de $n > 0$ que $g^n = e_G$ es el menos $n$ que $\phi(g)^n = e_{G'}$. También, si $\phi$ no es inyectiva, entonces hay un elemento $g \ne e_G$ $\phi(g) = e_{G'}$ y, a continuación, claramente el orden de $g$, y la orden de $\phi(g)$ difieren.

Answer 3

Sí, estás en lo correcto. Todo lo que puedo decir en general es que el orden de $\phi(g)$ divide $k$.

Answer 4

Las otras respuestas discutir correctamente que el orden de las $\phi(g)$ debe dividir el orden de $g$, pero olvidan mencionar que algunas personas usan el más raro de la convención de que $g$ es de orden $k$ si $g^k = 1$, incluso si $k$ no es el mínimo de dicho exponente. Raras como esta convención es, la instrucción que se le dio para demostrar que es verdadero en virtud de ello, así que es probable que lo que se quería decir. Revise cuidadosamente lo que la convención de su libro/clase de usos.