Calcular $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)}\sin(ax)dx$

Question

Calcular $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)}\sin(ax)dx$$
Mi intento:

$f(z)=\frac{z}{z^2+1}e^{iax}$ y luego pensé en usar el semicírculo en el eje imaginario y tomar la parte imaginaria de la integral pero cuando tomo el imaginario no obtengo la misma función.
Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Dejemos que $I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x(x^2+1)}dx$ . Entonces,

$$I’’(a) =- \int_{0}^{\infty}\frac{x\sin ax}{x^2+1}dx = I(a) -\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x}dx= I(a)- \frac\pi2 $$

lo que lleva a $I(a)= \frac{\pi a}{2|a|}(1-e^{-|a|})$ . Así,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin ax }{x^2+1}dx = -2I’’(a)= \frac{\pi a}{|a|}e^{-|a|} $$

Answer 2

En los libros de texto de Análisis Complejo se demuestra que si $A$ es un subconjunto finito de $\Bbb C$ y si $f\colon\Bbb C\setminus A\longrightarrow\Bbb C$ es analítico y $\lim_{z\to\infty}f(z)=0$ entonces $$\int_{-\infty}^\infty f(z)e^{iaz}\,\mathrm dz=\begin{cases}\displaystyle2\pi i\sum_{w\in A,\ \operatorname{Im}w>0}\operatorname{res}(w,f(z)e^{iaz})&\text{ if }a>0\\-2\pi i\displaystyle\sum_{w\in A,\ \operatorname{Im}w<0}\operatorname{res}(w,f(z)e^{iaz})&\text{ if }a>0\end{cases}.$$ Así que, \begin{align*}\int_0^\infty\frac x{x^2+1}\sin(ax)\,\mathrm dx&=\frac12\operatorname{Im}\left(\int_{-\infty}^\infty\frac{xe^{iax}}{x^2+1}\,\mathrm dx\right)\\&=\begin{cases}\pi e^{-a}&\text{ if }a>0\\-\pi e^a&\text{ if }a<0.\end{cases}\end{align*}