Sobre los tripletes de enteros que inducen la conmutatividad en los grupos

Question

Es bien sabido que si $i\in\mathbb Z$ , entonces cualquier grupo $G$ es abeliano siempre que $(ab)^k=a^kb^k$ se mantiene para $k=i,i+1,i+2$ y para todos $a,b\in G$ (ver por ejemplo esta pregunta ). ¿Existen otras $3$ -subsets $K$ de $\mathbb Z$ tal que, si $G$ es cualquier grupo que satisface $(ab)^k=a^kb^k$ por cada $a,b\in G$ y para todos $k\in K$ entonces el grupo $G$ es abeliano? Más generalmente, ¿se conocen todos estos subconjuntos?

Answer 1

Un grupo con la propiedad $(ab)^k=a^kb^k$ se denomina $k$ -abeliano, Estos grupos son caracterizados por J. Alperin en http://cms.math.ca/cjm/v21/cjm1969v21.1238-1244.pdf .

Es sencillo ver que al ser $k$ -abeliano equivale a ser $1-k$ -abeliano.

Además, si $G$ es $k$ -abeliano entonces el cociente del centro $G/Z(G)$ tiene un exponente finito que divide $k(k-1)$ .

Asumir la identidad $(ab)^i=a^ib^i$ se mantiene en un grupo $G$ , para $i=k,n$ y que $(k(k-1),n(n-1))=2$ Entonces $G$ es abeliana.

De hecho, el exponente de $G/Z(G)$ divide $k(k-1)$ y $n(n-1)$ Por lo tanto $G/Z(G)$ tiene exponente como máximo 2, por lo que es abeliano. De ello se desprende que $G$ tiene clase como máximo $2$ .

Ahora dejemos que $a,b \in G$ , uno tiene $(ab)^i=a^ib^i[b,a]^{i(i-1)/2}=a^ib^i$ , para $i=k,n$ . De ello se desprende que $[b,a]^{i(i-1)/2}=1$ , para $i=k,n$ Por lo tanto $[b,a]=1$ . Así, $G$ es abeliana.