Prueba de que la multiplicación de matrices es continua

Question

Me gustaría demostrar que el grupo Circle $SO(2)$ es un grupo topológico bajo multiplicación. Los requisitos son

$\alpha$ ) La operación de grupo es continua $m:G \times G \rightarrow G$

$\beta$ ) La inversa es continua: $x \rightarrow x^{-1}$ es continua

Soy consciente de que el grupo es invertible y si pensara en el $SO(2)$ grupo como un grupo de ángulos en lugar de un grupo de matrices, parece obvio que el grupo es continuo. Sin embargo, me gustaría demostrar que el grupo es continuo bajo la multiplicación para un conjunto de matrices de la forma $\left( \begin{array}{rr} a & b \\ -b & a\end{array}\right)$ .

¿Cómo se puede mostrar la continuidad de una matriz?

Answer 1

Se puede escribir la multiplicación de matrices como polinomios en las entradas, y éstas son continuas. Para la inversa, normalmente también se necesita el hecho de que $\rm det$ es continua (y, bueno, distinta de cero en la cosa que estás mirando) pero en este caso quizás no, ya que es $1$ .