¿Un subfondo orientable de un haz vectorial orientable tiene siempre un complemento orientable?

Question

Si tengo un haz vectorial orientable $E$ y un subgrupo $F$ en un colector $M$ donde ambos haces son orientables, hace $F$ tienen un complemento en $E$ que también es orientable? ¿Tiene un haz de complementos? Es decir, un subfondo de $E$ que es un complemento puntual de $F$ .

¿Y si $F$ es de codimensión $1$ ? ¿El complemento es siempre trivial en este caso?

¿Cambia algo si $E$ es específicamente el haz tangente $TM$ ?

Answer 1

Si $E=F\oplus G$ entonces $\Lambda^\det E=\Lambda^\det F\otimes\Lambda^\det G$ . Si ambos $\Lambda^\det E$ y $\Lambda^\det G$ son triviales, entonces también lo son $\Lambda^\det F$ porque al ser los tres haces de líneas, se puede "dividir por $\Lambda^\det G$ " en esa igualdad.

Answer 2

También se puede ver esto por el hecho de que cualquier subconjunto tiene un complemento (elegir una métrica y tomar el complemento ortogonal) y ahora utilizar que un haz es orientable si su primera clase de stiefel-whitney desaparece y que esta clase es aditiva bajo sumas directas.