Resolución de la forma explícita (paso de ecuaciones diferenciales)

Question

Tengo una ecuación diferencial $(\alpha)$ : $$I'=r\cdot I(S-I) \text{ , }\ I(0)=I_0.$$ Dónde $r$ es una constante positiva.
Además, se nos da el hecho de que: $$ \lim_{t\to\infty} I(t)=S.$$ Que luego tengo que demostrar como parte de la pregunta, puedo hacerlo, una vez que tenga esta parte resuelta.

He llegado al punto de tener lo siguiente: $$\frac{-I(t)}{S-I(t)}=e^{S (rt+c)}.$$

Mathematica me da el resultado: $$I(t)=\frac{S e^{S (c+r t)}}{e^{S (c+r t)}-1}.$$

Sin embargo, no tengo idea de cómo resolver esto manualmente para $I(t)$ . ¿Cómo podría hacer algo así?

Answer 1

$\dfrac{I-S}{I} = e^{-S(rt+c)} \Rightarrow I(1-e^{-S(rt+c)}) = S \Rightarrow I = \dfrac{S}{1-\dfrac{1}{e^{S(rt+c)}}} = \dfrac{Se^{S(rt+c)}}{-1+e^{S(rt+c)}}$

Answer 2

Si ha llegado al punto en que tiene

$\dfrac{-I(t)}{S-I(t)} = e^{S(rt + c)}, \tag{1}$

llegando entonces a la forma

$I(t) = \dfrac{Se^{S(rt+ c)}}{e^{S(rt + c)} - 1} \tag{2}$

es fácil, requiriendo sólo álgebra elemental; de hecho, a partir de (1),

$-I(t) = e^{S(rkt + c)}(S - I(t)) = e^{S(rt + c)}S - e^{S(rt + c)} I(t), \tag{3}$

de donde

$e^{S(rt + c)} I(t) - I(t) = (e^{S(rt + c)} - 1) I((t) = e^{S(rt + c)}S, \tag{4}$

de donde

$I(t) = \dfrac{S e^{S(rt + c)}}{e^{S(rt + c)} - 1}, \tag{5}$

de acuerdo con el resultado reportado de Mathematica.