Sistemas dinámicos y puntos de equilibrio

Question

Recientemente he estado tratando de entender los sistemas dinámicos y se me ocurrió la siguiente pregunta: Consideremos el sistema $y' =f(y)$ , $t\ge0$ con sólo dos puntos de equilibrio $0, 1$ y $f(y)\le0$ en $[0,1]$ , $f'(0)\lt0$ , $f'(1)\gt0$ . ¿Hay alguna solución? $y$ con $y(0)\in(0,1)$ tal que $lim_{t\to \infty}y$ no es $0$ ?

Observación: Como $y$ es decreciente, tendrá un infimo $s$ , $s\ge0$ . Si $s\ne0$ entonces no puede ser un punto de equilibrio....

Gracias de antemano.

Answer 1

No. Cualquier cero de $f(y)$ es un equilibrio, por lo que la hipótesis de que los únicos equilibrios son $0$ y $1$ fuerzas $f(y) < 0$ en $(0, 1)$ . Esto implica a su vez que para cualquier $0 < \epsilon < 1/2$ tenemos $f(y) < 0$ en el intervalo cerrado

$I_\epsilon = [\epsilon, 1 - \epsilon], \tag 1$

y como $I_\epsilon$ es compacto, $f(y)$ alcanza un nivel global máximo $m < 0$ en $I_\epsilon$ entonces para

$y(t_0) = y_0 \in I_\epsilon, \tag 2$

$y(t)$ obedece a

$\dot y = f(y) \le m < 0 \tag 3$

en $I_\epsilon$ por lo tanto, $y(t)$ que satisface (3) alcanzará el valor $\epsilon$ en el tiempo

$\Delta t = \displaystyle \int_{y_0}^\epsilon \dfrac{dy}{f(y)} = -\int_\epsilon^{y_0} \dfrac{dy}{f(y)} \le -\int_\epsilon^{y_0} \dfrac{dy}{m} = -\dfrac{y_0 - \epsilon}{m} = \dfrac{\epsilon - y_0}{m}; \tag 4$

ya que esto es válido para cada $0 < \epsilon < 1/2$ vemos que para cada $y_0 \in (0, 1)$ , $y(t)$ se vuelve arbitrariamente pequeño para un tamaño suficientemente grande $t$ pero esto implica

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = 0. \tag 5$

El resultado es falso si eliminamos la condición de que $f(y)$ tienen sólo dos equilibrios en $[0, 1]$ ; considera que

$f(y) = y \left (y - 1 \right ) \left ( y - \dfrac{1}{2} \right )^2, \tag 6$

y establecer

$y(0) = \dfrac{3}{4}; \tag 7$

$f(y)$ satisface los criterios requeridos, pero

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = \dfrac{1}{2}, \tag 8$

que puede demostrarse de forma similar a la anterior.