Una condición equivalente con $\{0\}$ siendo el único ideal nilpotente

Question

En un anillo $R$ demostrar que $\{0\}$ es el único ideal nilpotente si y sólo si para todo ideal $A$ y $B$ de $R$ , $AB=\{0\}$ implica $A\cap B=\{0\} $ .

Answer 1

Supongamos que $\langle 0\rangle$ es el único ideal nilpotente y que $AB=\langle 0\rangle$ . Dejemos que $x \in A \cap B$ . Entonces $x^2=0$ así que $\langle x\rangle^2=\langle 0\rangle$ . Así, $\langle x\rangle=\langle 0\rangle$ .

Para el sentido inverso, supongamos que $I$ es un ideal nilpotente de $R$ . Entonces $I^n=\langle 0\rangle$ para algunos $n>0$ . Si $n=1$ entonces $I=\langle 0\rangle$ . Si $n>1$ entonces $II^{n-1}=\langle 0\rangle$ . Así, $I^{n-1}=I \cap I^{n-1}=\langle 0\rangle$ . Continuando así obtenemos $I^2=\langle 0\rangle$ Así que $I=I\cap I=\langle 0\rangle$ .