Dejemos que $E_n$ , $n\ge 1$ sean estos conjuntos convexos cerrados no vacíos. Queremos elegir un punto $x_n$ en cada conjunto para que formen una secuencia de Cauchy. Si el diámetro de $E_n$ tiende a cero a medida que $n\to\infty$ la propiedad de Cauchy viene automáticamente. De lo contrario, tenemos que hacer algunas elecciones inteligentes de $x_n$ . Presento dos versiones; la segunda, señalada por Daniel Fischer, es más hábil.
Cerca del "centro del conjunto"
Una idea es elegir $x_n$ cerca del "centro" de cada conjunto. Para precisar esto, dejemos que $$r_n = \inf\{r>0: \exists x\in E_n \text{ such that } E_n\subset B(x,r)\}\tag1$$ Aquí $B(x,r)$ es una bola cerrada de radio $r$ centrado en $x$ . (El número $r_n$ se denomina a veces radio de Chebyshev de $E_n$ .) Obsérvese que $r_n$ es una secuencia decreciente de números positivos, por lo que tiene un límite, $r_n\to r_*$ .
Como es habitual en las dimensiones infinitas, no sabemos si el mínimo (1) se alcanza realmente. Por lo tanto, hay que dar un poco de margen: elegir $x_n\in E_n$ tal que $E_n\subset B(x_n, r_n+2^{-n})$ .
Afirmo que la secuencia $(x_n)$ es Cauchy. En efecto, supongamos que existe $\epsilon>0$ tal que hay índices arbitrariamente grandes $n<m$ para lo cual $\|x_n-x_{m}\|\ge \epsilon$ . Entonces $$E_m \subset B(x_n,r_n+2^{-n})\cap B(x_m,r_m+2^{-m})$$ Obsérvese que ambos radios pueden acercarse arbitrariamente a $r_*$ eligiendo $n,m$ grande. Utilizando la ley del paralelogramo, se puede demostrar que $$B(x_n,r_n+2^{-n})\cap B(x_m,r_m+2^{-m})\subset B\left(\frac12 (x_n+x_m),\rho\right)$$ para $\rho<r_*$ llegando así a una contradicción.
(Haz un dibujo de dos bolas que se cruzan de casi el mismo radio: si la distancia entre sus radios es considerable, la intersección está contenida en una bola de menor radio).
Cerca del origen del espacio
Otra idea es elegir $x_n$ de norma pequeña. Sea $$R_n = \inf\{\|x\| : x\in E_n \}\tag2$$ Observe que $R_n$ es una secuencia creciente de números positivos, por lo que tiene un límite, $R_n\to R_*$ .
Escoge $x_n\in E_n$ tal que $\|x_n\| < R_n+2^{-n}$ .
Afirmo que la secuencia $(x_n)$ es Cauchy. En efecto, supongamos que existe $\epsilon>0$ tal que hay índices arbitrariamente grandes $n<m$ para lo cual $\|x_n-x_{m}\|\ge \epsilon$ . Entonces $$\frac{x_n+x_m}{2}\in E_m$$ por convexidad. Utilizando la ley del paralelogramo, se puede demostrar que $$\left\|\frac{x_n+x_m}{2}\right\| <R$$ cuando $m,n$ son suficientemente grandes, llegando así a una contradicción.
