Cálculo con perpetuidades

Question

Tengo un problema para calcular la siguiente perpetuidad:

Para un determinado $m \in \mathbb{N}\backslash \{0\}$ tenemos una perpetuidad, que paga $\dfrac{j+1}{m}$ , $j \in \mathbb{N}$ en los puntos de tiempo $$\left\{ j + \frac{k}{m}: k=0, \ldots, m-1\right\}$$ ¿Cuál es el equivalente en efectivo de esta perpetuidad en función del tipo de interés $i$ ?

Así que sé que para una perpetuidad con $m$ pagos de $\frac{1}{m}$ El equivalente en metálico se calcula mediante:

$$\ddot{a}_{\infty}^{(m)} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m}v^{\frac{1}{m}} + \frac{1}{m}v^{\frac{2}{m}} + \cdots = \frac{1}{m} \sum_{k=0}^{\infty} v^{\frac{k}{m}} = \frac{1}{m(1-v^{\frac{1}{m}})} = \frac{1}{d_m}$$

donde $v = \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{1+i}$ y $d_m = m(1-v^{\frac{1}{m}})$ . Así que mi idea era utilizar una fórmula similar.

Los pagos son $\dfrac{j+1}{m}$ Así que

$$\ddot{a}_{\infty}^{(m)} = \frac{j+1}{m} \left(1+v^j + v^{j + \frac{1}{m}} + \cdots\right)= \cdots$$ pero en realidad no sé, si esta es la forma correcta de proceder.

Answer 1

El flujo de caja tiene valor presente $$\frac{1}{m}(1 + v^{1/m} + \cdots + v^{(m-1)/m}) + \frac{2}{m}(v + v^{1+1/m} + \cdots + v^{1+(m-1)/m}) + \cdots.$$ Esto, por supuesto, se puede escribir como $$\left(\frac{1}{m} + \frac{2}{m} v + \frac{3}{m}v^2 + \cdots \right) (1 + v^{1/m} + \cdots + v^{(m-1)/m}).$$ En notación actuarial, el valor actual es $$\frac{1}{m} (I\ddot a)_{\overline{\infty}\rceil} \ddot a_{\overline{m}\rceil}^{(m)} = \frac{1}{m(1-v)^2} \cdot \frac{1-v}{1-v^{1/m}} = \frac{1}{m(1-v)(1-v^{1/m})}.$$