Estoy leyendo el libro "Hamilton's Ricci flow" de Chow, Lu y Ni. Sin embargo, estoy luchando para entender un paso en P.172-173, que creo que es sólo una pregunta en el cálculo y no tiene nada que ver con el flujo de Ricci. Esta es mi pregunta: Se dedujo que (ver (4.60) en P.172) $$\tag{1}\frac{d}{dt}(A-C) =(-2(A^2+AC+C^2)+B^2+AB+BC)(A-C).$$ Del mismo modo, tenemos la ecuación para $\frac{d}{dt}(A-B)$ y $\frac{d}{dt}(B-C)$ . Entonces se afirmó que si $A(0)\geq B(0)\geq C(0)$ entonces tenemos $A(t)\geq B(t)\geq C(t).$ Este es el lugar donde me pierdo. Sólo me pregunto cómo se puede derivar esto de la ecuación de la evolución $(1)$ porque me parece que el coeficiente de $A-C$ en el lado derecho de $(1)$ Es decir $-2(A^2+AC+C^2)+B^2+AB+BC$ no siempre es positivo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Quieres comparar con una exponencial que decae. En un intervalo de tiempo $[0,T]$ donde $$G:=\left|-2(A^2+AC+C^2)+B^2+AB+BC\right| \le M_T,$$
tenemos la desigualdad diferencial $\partial_t (A-C) \ge -M_T(A-C)$ y por lo tanto $$A(t) -C(t) \ge (A(0)-C(0))e^{-M_T t}\ge0.$$
Desde $G$ puede acotarse en términos de $A,B,C$ Por lo tanto, sabemos que $A-C\ge0$ siempre y cuando $A(t),B(t),C(t)$ son finitos. Quizás también vea una de mis antiguas preguntas que es muy similar.
La afirmación se desprende de la existencia y la unicidad de las soluciones de las EDO. Si el triple de funciones $A(t)$ , $B(t)$ , $C(t)$ con $A(0) = B(0) = C(0)$ satisfacen el sistema de EDOs, entonces debemos tener $A(t), B(t),$ y $C(t)$ constante para siempre con $A(t) = B(t) = C(t) =A(0)$ . Esto se debe a las funciones constantes $A(t) = B(t) = C(t) = A(0)$ que también satisface el sistema de EDOs.
Nota: No tengo el libro delante, pero esto parece el tipo de argumento estándar para el flujo de Ricci en grupos de Lie tridimensionales o espacios homogéneos. Hay un artículo de James Isenberg y Martin Jackson en el que se hizo mucho de esto originalmente ( https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.jdg/1214448265 ). El documento está realmente bien escrito y es bastante accesible.
