Probabilidad conjunta multivariable

Question

Digamos que tengo estos eventos $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ . Dónde se celebra el evento $A_2$ se ve afectado por los acontecimientos de $A_1$ y el evento $A_3$ se ve afectado por el evento $A_2$ y así sucesivamente. Por ejemplo, se puede pensar en el Evento $A$ como la probabilidad de sacar una bola roja de una urna sin reemplazo de forma secuencial

La probabilidad conjunta de observar todos estos eventos (observar la muestra)

$$p(A_1,A_2,..A_n) = p(A_1)P(A_2|A_1)p(A_3|A_1,A_2)\cdot \cdot \cdot P(A_n|A_1,A_2,...,A_{n-1}) \tag 1$$

Esto es el Teorema de Bayes reescrito de forma diferente.

Mi pregunta: ¿Y si los eventos no son secuenciales? Y se produjeran simultáneamente y un suceso no dependiera del otro suceso, ¿se puede seguir diciendo? (Entiendo que la independencia eliminaría los condicionales, pero ¿se mantiene esta expresión tal cual?)

$$p(A_1,A_2,..A_n) = p(A_1)P(A_2|A_1)p(A_3|A_1,A_2)\cdot \cdot \cdot P(A_n|A_1,A_2,...,A_{n-1}) \tag 1$$

¿Puedo reorganizar el orden de los acontecimientos e ir hacia atrás?

$$p(A_1,A_2,..A_n) = p(A_n)P(A_{n-1}|A_{n})p(A_{n-2}|A_{n},A_{n-1})\cdot \cdot \cdot P(A_1|A_{n-1},A_2,...,A_{1}) \tag 1$$

Answer 1

El Teorema de Bayes no depende de la interpretación física de los eventos (por lo que, en particular, la propiedad de que algunos eventos sean secuenciales en el tiempo no importa). Siempre es válido escribir

$$P(A_1, A_2, \cdots, A_n) = P(A_n)P(A_{n-1}|A_n) \cdots P(A_1 | A_{n-1}, A_{n-2}, \cdots, A_1)$$

y además, se pueden tomar en cualquier orden. Por ejemplo, $$P(A_1, A_2, A_3, A_4) = P(A_2)P(A_3|A_2)P(A_1|A_2, A_3)P(A_4|A_1, A_2, A_3)$$

Es posible que la interpretación secuencial de los acontecimientos se preste a una escritura natural del Teorema de Bayes en algún orden específico. Pero siempre se puede escribir este producto de probabilidades condicionales en cualquier orden y conseguir la misma probabilidad conjunta (sólo que puede no ser útil, o puede ser difícil de calcular).